комплексные числа какой класс

Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе

Дата публикации: 03.02.2020 2020-02-03

Статья просмотрена: 1463 раза

Библиографическое описание:

Жмурова, И. Ю. Изучение комплексных чисел в общеобразовательной школе / И. Ю. Жмурова, С. В. Баринова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 5 (295). — С. 312-314. — URL: https://moluch.ru/archive/295/67123/ (дата обращения: 08.11.2021).

В статье обсуждается необходимость и возможность изучения комплексных чисел в старшей школе, анализируются актуальные учебники математики, рассматриваются методические аспекты введения данного раздела в школьный курс математики.

Ключевые слова: комплексное число, числовая система, базовый уровень, профильный уровень.

Комплексные числа — раздел, не всегда встречающийся в современных школьных учебниках алгебры и начал математического анализа [1]. Из книг, рассмотренных нами, эта тема рассматривается лишь в одном учебнике базового уровня, в остальных случаях — только в учебниках профильного уровня. Естественно, возникает вопрос — должен ли учитель рассказать о существовании множества комплексных чисел, показать, как выполняются арифметические операции на этом множестве, как подойти к этой теме оптимально с точки зрения как времени, так и содержания.

Комплексные числа не входят в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике, поэтому чаще всего тему «Комплексные числа» или оставляют на самостоятельное изучение, или не рассматривают совсем. Если комплексные числа не изучаются, то у учеников может возникнуть проблема при решении квадратных уравнений — как корректно записать ответ в случае отрицательного дискриминанта? Учащиеся заучивают шаблонную фразу «нет действительных корней», не задумываясь, какое значение она имеет. Этого можно избежать, если в рамках темы «Квадратные уравнения» показать, что из отрицательного числа можно извлечь корень и получить мнимое число, изучение которого будет происходить в 11 классе. В таком случае будет понятно, что у каждого уравнения есть корни, но в число рассматриваемых они могут и не входить.

Изучение комплексных чисел и работа с ними способствует развитию у учащихся абстрактного мышления, позволяет полностью увидеть структуру всех изученных ранее числовых множеств и операций с ними. Множество комплексных чисел принципиально отличается от всех числовых систем, являющихся подсистемами действительных чисел: комплексные числа нельзя отобразить на одной координатной прямой с другими числами, их нельзя упорядочить. Кроме того, комплексные числа — это тот редкий раздел математики, который объединяет в себе алгебру, геометрию и тригонометрию; показывает возможность привлечения смежных областей науки для решения конкретной задачи, реализуя тем самым интеграционные связи математики — как ближние, так и дальние [2]. Сама идея того, что из отрицательного числа можно извлечь корень, побуждает обучающихся посмотреть на ранее известные вещи с другой точки зрения.

Нами был рассмотрен ряд учебников по алгебре и началам математического анализа для 11 класса, входящих в федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации образовательных программ среднего общего образования на 2019–2020 учебный год [4]. Среди них учебники базового уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина), углубленного уровня (Г. К. Муравин и О. В. Муравина; М.Я Пратусевич и др.) и базового и углубленного уровней (С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.; Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др.). Анализ перечисленных выше учебников показал, что авторы стремятся изложить определенные сведения о множестве комплексных чисел в средней школе: во всех учебниках приводится исторический материал, рассматриваются алгебраическая, геометрическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел, формула корней кубического уравнения. В учебниках углубленного уровня приводится показательная форма записи комплексного числа, рассматриваются операции возведения в степень и извлечение корня из комплексного числа. Материал учебников поможет сформировать представление о комплексных числах даже при самостоятельном изучении.

Знакомство с темой можно начать с повторения сведений об известных числовых множествах и выяснения причин, по которым было необходимо их расширение. Так операция вычитания привела к появлению отрицательных чисел, операция деления — рациональных чисел, извлечение корня — иррациональных чисел. Все эти множества входят в множество комплексных чисел, в которых выполнима операция излечения корня из любого числа. При изучении формулы корней кубического уравнения уместно будет рассказать об истории ее появления, а также об отношении к «неправильным» числам во все времена, начиная с неприязни к отрицательным числам. Интерес у учащихся также может вызвать объяснение записи мнимых чисел.

Важно показать различные формы записи комплексного числа и переходы от одних форм к другим; в каких случаях используется та или иная форма записи комплексного числа. Так, например, в учебнике С. М. Никольского приведена показательная форма комплексного числа и подчеркиваются ее преимущества: короткая запись числа и удобство при умножении, делении или возведении в степень. Также говорится о применении такого типа записи в физике. Г.К. и О. В. Муравины в учебниках и для базового, и для профильного уровней ограничиваются лишь тождеством Эйлера, а М. Я. Пратусевич и Ю. М. Колягин приводят только алгебраическую и тригонометрическую формы записи.

При изучении операций сложения, умножения и сопряжения комплексных чисел можно предложить учащимся самим вывести формулы, основываясь на алгоритме приведения подобных слагаемых и сложения и умножения многочленов. Совместный вывод теоретического материала может облегчить восприятие темы.

Анализируя методические рекомендации к учебникам, можно сделать следующий вывод: все рассмотренные авторы сделали тему «Комплексные числа» последней темой курса алгебры и начал анализа 11 класса. В частности, Г. К. Муравин и О. В. Муравина отмечают: «рассмотрение материала главы во многих классах можно проводить на ознакомительном уровне, что высвободит запланированное на изучение комплексных чисел время для повторения востребованного на экзамене материала» [4]. В рассматриваемых нами методических рекомендациях авторы выделяют от 10 до 19 часов на изучение комплексных чисел при углубленном изучении математики и 6 часов при изучении математики на базовом уровне. Такой размах обусловлен различным объемом материала и количеством часов в неделю для конкретного учебника.

Комплексные числа являются самостоятельной темой, объединяющей в себе ранее изученные разделы. Поэтому можно осуществить изучение этой темы в рамках курса внеурочной деятельности даже в 10 классе, при условии пропедевтики в основной школе, оставив уроки в 11 классе для повторения.

Если учитель ставит перед собой цель ознакомить учащихся с комплексными числами, можно рассматривать эту тему в несколько этапов: в 8 классе при изучении темы «Квадратные уравнения» объяснить, что такое комплексное число, показать алгебраическую форму комплексных чисел их сумму и разность, умножение и деление на действительное число; в 9 классе после изучения темы «Степенная функция» показать умножение и деление комплексных чисел, модуль комплексного числа; в 10 классе после изучения темы «Тригонометрия» познакомить учащихся с тригонометрической формой записи комплексного числа, извлечением корня и возведением в степень комплексного числа; в 11 классе вспомнить ранее изученное о комплексных числах и рассмотреть показательную форму записи комплексного числа. Таким образом действия с комплексными числами будут изучаться непосредственно после связанной с этим темы.

Изучение комплексных чисел в школе в первую очередь способствует развитию абстрактного мышления: раздвигаются привычные рамки, выполняются операции, ранее считавшиеся невыполнимыми. Содержательно-методическая линия числа приобретает законченный характер. Кроме того, при изучении комплексных чисел необходимо знакомиться и с историей развития числа и теми проблемами, которые привели к появлению комплексных чисел. Тем самым расширяется исторический кругозор и повышается культурный уровень обучающихся, что имеет огромное значение для общего развития старшеклассника. Все это актуализирует изучение комплексных чисел в урочной или внеурочной деятельности по математике в средней школе.

Источник

Комплексные числа в средней школе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

§1. Что такое комплексное число .

Сопряжённое комплексное число

Для каждого комплексного числа x определено сопряжённое комплексное число . Например, для комплексного числа сопряжённым будет число .Использование в вычислениях сопряжённых чисел позволяет выделять действительную и «векторную» части комплексного числа т.е.

Если умножить комплексное числ на сопряжённое, то получается действительное число, которое называется «алгебраической нормой». Корень квадратный из алгебраической нормы называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа, обозначается .

§2. История открытия комплексного числа.

Впервые мнимые величины встречаются в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Джероламо Кардано (1545), который посчитал их непригодными в математике. Пользу мнимых величин, а именно, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые понял Бомбелли (1572). Так же Бомбелли ввел некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

§3. Геометрическое изображение комплексного числа.

Давайте посмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. И каждому комплексному числу можно сопоставить точку плоскости с координатами (а также вектор, соединяющий начало координат с этой точкой(радиус-вектор)). Такую плоскость называют комплексной. Вещественные числа расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; и поэтому горизонтальную ось называют вещественной осью и вертикальную ось называются мнимой осью. Часто на комплексной плоскости рассматривают также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже. В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При умножении комплексных чисел следует их модули перемножить, а аргументы сложить. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

§4 . Операции над комплексными числами .

а + bi = с + di означает, что а = с и b = d (два комплексных числа равны между собой

только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).

Умножение:

Деление:

Извлечение корней из комплексных чисел и Формула Муавра

Эта формула дает возможным возводить в целую степень ненулевое комплексное число,

представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В этом виде она

опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная выше формула справедлива при любом целом n, и не важно будет ли это число положительным или же отрицательным. Можно эту же формулу применять и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

Заметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. Как видно из формулы на комплексной плоскости, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z,

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂ i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z + z₂ =z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

Можем сделать вывод, что верный ответ

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Источник

Концепция преподавания раздела «Комплексные числа»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

администрации Кстовского муниципального района

Квалификационная работа на первую категорию

Концепция преподавания раздела «Комплексные числа»

Моисеева Ирина Владимировна,

первая квалификационная категория,

МБОУ Лицей №7 г. Кстово,

Рабочая программа по алгебре и началам математического анализа для обучающихся 10 класса составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике с учетом Примерной программой среднего (полного) общего образования по курсу » Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень».

Согласно Федеральному базисному учебному плану для общеобразовательных учреждений РФ для изучения курса алгебры в 10 классе отводится 6 часа в неделю, 210 часов в год федерального компонента. Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по алгебре, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.

Актуальность данной темы заключается в вечном вопросе: нужно ли знать математику менеджеру, социологу, аудитору и другим представителям гуманитарных профессий? А если нужно, то в какой мере? Вопросы далеко не праздные: на практике при решении многих конкретных управленческих проблем часто берут верх неформализуемые факторы, а применение математических методов сводится к использованию лишь четырех действий арифметики, а мнимые числа вообще не учитываются ни в каких расчетах.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полёт ракет и самолётов. Они применяются при вычерчивании географических карт, и многих других науках.

Все это говорит об актуальности выбранной темы и ее значимости для курса алгебры.

Цели и задачи раздела

Основная цель – расширить множество действительных чисел для того, чтобы находить решения алгебраических уравнений и, в частности, квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом; научить представлять комплексное число в алгебраической и тригонометрической форме, выполнять действия сложения, вычитания, умножения и деления над комплексными числами; изображать комплексные числа точками плоскости или с помощью векторов, извлекать корни из комплексных чисел.

Основные задачи при изучении учебного материала темы:

формирование умений объяснять понятия комплексно-сопряженного числа, модуля комплексного числа;

формирование умений представлять комплексное число в алгебраической или тригонометрической форме;

формирование умений и навыков выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления чисел, записанных в алгебраической форме;

формирование умений изображать комплексные числа на комплексной плоскости ;

формирование умений решения алгебраических уравнений и, в частности, квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом ;

развивать умения обобщать изучаемые факты, делать выводы;

развивать внимание, память, речь через решение творческих задач;

развивать креативные и коммуникативные способности через применение коллективной работы на уроках.

формирование понимания того, что данная тема имеет важное практическое применения в физике и других областях науки и техники, где приходится оперировать величинами, которые можно представить в виде вектора;

формирование у обучающихся навыков самоконтроля, самоанализа;

формирование сознательной дисциплины и норм поведения учащихся

обеспечить условия для воспитания положительного интереса к изучаемому предмету;

способствовать формированию культуры умственного труда;

умению критично соотносить начальный план работы с реальным процессом ее выполнения.

Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями

В старшем школьном возрасте, учащиеся включаются в новый тип ведущей деятельности – учебно-профессиональной. Учебная деятельность становится средством реализации жизненных планов будущего, а основным внутренним мотивом для большинства учащихся является ориентация на результат. Для этой возрастной группы характерным является заметное повышение интереса к учению. Учение приобретает для них непосредственно жизненный смысл в связи с осознанием знаний и умений как необходимого условия достойного участия в будущей жизни. Учебная деятельность старшеклассников включает элементы анализа, исследования, личностного самоопределения. Избирательность интересов связана с жизненными планами. Изменяется мотивация в основных видах деятельности: учения, общения, труда. На месте прежних (детских) мотивов возникают и закрепляются новые (взрослые) мотивы, приводящие к переосмыслению содержания, целей и задач деятельности.

На уроках математики старшеклассника отличает активность мышления, направленность на решение мыслительных задач, вкус к логическому упорядочиванию и систематизации, к поиску универсальных закономерностей, к самостоятельному нахождению способов обобщенной ориентировки в материале, с теоретическим обобщением. Самостоятельная деятельность учащихся очень важный фактор формирования познавательного интереса. Но иногда надо дать стимул для самостоятельного изучения какого-либо явления, так как, изучая его, разбираясь в его проблемах и связями с жизнью, у ученика возникнет неподдельный интерес к изучаемому процессу. Эти самостоятельные задания надо предлагать с учетом склонностей учеников. Задав однажды какую-либо тему для исследования, надо в дальнейшем задавать, либо тему в развитии данной проблемы, либо тему в смежной области к области приложения исследования, то есть не давать единичных заданий, которые могут разбудить интерес лишь на время. Но и нельзя изучение проблемы полностью возлагать на плечи ученика, так как это может дать обратный. Надо уловить заинтересовала ли заданная тема ученика или он просто сделал очередное задание.
Важно отметить, что ученик должен общаться с учителем– подходить за разъяснениями, объяснениями, ученик не должен все делать сам, так как без руководства со стороны учителя ученик может уйти от главного направления или отвлечься на мелочи
Эффективным видом самостоятельной работы являются доклады. Объем самостоятельной работы учащихся должен увеличиваться за счет применения в процессе обучения активных методов (поисковая лабораторная или практическая работа) и заданий творческого характера.
Применение активных форм и методов обучения и заданий творческого характера побуждает старшеклассников к самостоятельной работе в процессе информационной ценностно-ориентированной деятельности.
Основная идея обновления образования, которое характеризуется переходом к профильному обучению и возрастающим уровнем информатизации учебного процесса, состоит в том, что оно должно стать индивидуализированным, функциональным и эффективным. Одним из способов реализации задачи индивидуализации образовательного процесса, повышения его качества в контексте профильной подготовки является разработка и внедрение метода проектов, основанного на самостоятельной исследовательской работе учащихся.

При построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления, как:

Содержание учебного материала в выбранном разделе позволяет учащимся проявлять самостоятельность при изучении темы; развивать творческие способности; решать задачи на развитие понятийного мышления; развивать творческий подход при решении проблем; сопоставлять математику и практическую деятельность, необходимую для их профессионального дела.

Источник