комплексные числа в каком классе проходят

Знакомство с комплексными числами

В статье описан опыт преподавания элементов теории комплексных чисел в профильных классах старшей школы. Современная математика, физика, информатика и другие дисциплины основаны на действиях с действительными числами, поэтому учащиеся только обзорно знакомятся с комплексными числами.

Актуальность данной темы заключается в вечном вопросе: нужно ли знать математику менеджеру, социологу, аудитору и другим представителям гуманитарных профессий? А если нужно, то в какой мере? Вопросы далеко не праздные: на практике при решении многих конкретных управленческих проблем часто берут верх неформализуемые факторы, а применение математических методов сводится к использованию лишь четырех действий арифметики, а мнимые числа вообще не учитываются ни в каких расчетах.

Обратимся к истории и посмотрим, какие существовали теории чисел. Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие точку координатной плоскости и обратно. Так устанавливается взаимно- однозначное соответствие между комплексными числами и точками на координатной плоскости, которая называется комплексной.

Взаимно-однозначное соответствие между комплексными числами и векторами, выходящими из начала координат тоже устанавливается на комплексной плоскости.

Число:	Точка:
Z = a + 0i	A(a,0)
Z = 0 + bi	B(0,b)
Z = i	C(0,1)

С комплексными числами учащиеся знакомятся в 11-м классе. В качестве дополнительного иллюстративного материала был создан сайт, который может использоваться на уроках для развития познавательного интереса к предмету.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z,

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂ i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z + z₂ =z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

Можем сделать вывод, что верный ответ

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Источник

Рабочая программа курса «Комплексные числа в школьном курсе математики»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Рабочая программа курса « Комплексные числа в школьном курсе математики »

Аберясьевой Екатерины Владленовны

Комплексные числа (34 часа)

Курс для профильной подготовки учащихся 10-11 классов, посвящен комплексным числам. Данная тема вообще не изучается в средней школе и понятие числа остается не завершенным. Восполнить этот пробел, призван данный элективный курс. Именно в этом курсе завершается расширение понятия числа, обосновывается необходимость этого и доказывается, что дальнейшее расширение невозможно. Чтобы фраза «уравнение не имеет решений в действительных числах» не была голословной, а выражение «уравнение n-й степени имеет n-корней» была подтверждена практическими заданиями, необходимо изучить с учащимися тему: «Комплексные числа». Эту тему целесообразно изучать в 10-11 классе после изучения тригонометрии, т.к. большое значение имеет тригонометрическая форма комплексного числа. Этот курс преследует несколько целей, в частности расширить понятие числа, научить учащихся находить корни из отрицательных чисел и на исторических и современных примерах показать применение этих «мнимых» чисел.

При изучении теории комплексных чисел применяются опорные конспекты, предусмотрено использование интерактивной доски и индивидуальная работа учащихся по усвоению теории.

— сформировать представление о теории комплексных чисел.

— познакомить учащихся с понятием комплексного числа; научить выполнять основные арифметические операции на множестве комплексных чисел;

— сформировать умение решать упражнения по данной теме;

— показать прикладную значимость математики.

— развивать интеллектуальные способности, логическое мышление;

Постановка задачи о расширении поля действительных чисел. Комплексные числа, алгебраическая форма комплексного числа.

Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Векторы на плоскости как изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа и связь между ними.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел заданных в тригонометрической форме. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Решение двучленных уравнений 3-й и 4-й степени с действительными коэффициентами. Алгебраическое уравнение n-й степени.

Наименование разделов и тем

Исторические замечания. Прошлое и настоящее комплексных чисел.

Постановка задачи о расширении поля действительных чисел

Алгебраическая форма комплексного числа

Сложение комплексных чисел. Противоположные числа.

Вычитание комплексных чисел. Умножение комплексных чисел.

Деление комплексных чисел.

Контрольная работа № 1 по теме « Действия с комплексными числами».

Комплексные числа как аффиксы точек.

Векторы на плоскости как изображения комплексных чисел.

Модуль и аргумент комплексного числа.

Выражение модуля и аргумента комплексного числа в зависимости от составляющих.

Самостоятельная работа № 1 по теме « Модуль числа»

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

С амостоятельная работа № 2 « Тригонометрическая форма комплексного числа»

Возведение в степень.

Общее определение корня и извлечение корня из комплексного числа.

Самостоятельная работа № 3 по теме «Возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа».

Соответствие между сложением и вычитанием комплексных чисел и векторов.

Комплексные числа как изображения физических величин.

Источник

Комплексные числа в средней школе

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

§1. Что такое комплексное число .

Сопряжённое комплексное число

Для каждого комплексного числа x определено сопряжённое комплексное число . Например, для комплексного числа сопряжённым будет число .Использование в вычислениях сопряжённых чисел позволяет выделять действительную и «векторную» части комплексного числа т.е.

Если умножить комплексное числ на сопряжённое, то получается действительное число, которое называется «алгебраической нормой». Корень квадратный из алгебраической нормы называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа, обозначается .

§2. История открытия комплексного числа.

Впервые мнимые величины встречаются в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Джероламо Кардано (1545), который посчитал их непригодными в математике. Пользу мнимых величин, а именно, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые понял Бомбелли (1572). Так же Бомбелли ввел некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

§3. Геометрическое изображение комплексного числа.

Давайте посмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. И каждому комплексному числу можно сопоставить точку плоскости с координатами (а также вектор, соединяющий начало координат с этой точкой(радиус-вектор)). Такую плоскость называют комплексной. Вещественные числа расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; и поэтому горизонтальную ось называют вещественной осью и вертикальную ось называются мнимой осью. Часто на комплексной плоскости рассматривают также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже. В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При умножении комплексных чисел следует их модули перемножить, а аргументы сложить. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

§4 . Операции над комплексными числами .

а + bi = с + di означает, что а = с и b = d (два комплексных числа равны между собой

только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).

Умножение:

Деление:

Извлечение корней из комплексных чисел и Формула Муавра

Эта формула дает возможным возводить в целую степень ненулевое комплексное число,

представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В этом виде она

опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная выше формула справедлива при любом целом n, и не важно будет ли это число положительным или же отрицательным. Можно эту же формулу применять и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

Заметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. Как видно из формулы на комплексной плоскости, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Источник

Программа элективного курса по теме «Комплексные числа»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА ТОМСКА

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 28 Г. ТОМСКА

Директор МОУ СОШ №28

________________Гринькова Н. А.

Программа элективного курса по теме

Составила:

Анопова Елена Ивановна

учитель математики

первой категории

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. Сначала учащиеся знакомятся с натуральными числами и действиями с ними. В пятом классе вводятся дроби, так как невозможно выполнить деление, например 3:4. В шестом классе добавляются отрицательные числа, так как невозможно выполнить вычитание некоторых чисел, например: 3-5. После натуральных, целых, рациональных чисел, добавляются иррациональные, для операции извлечения корней, например, √2. В школьном курсе математики этот вопрос остался не завершённым. Так как при решении квадратных уравнений, если дискриминант отрицательный, то действительных корней не существует. Но если ввести множество комплексных чисел, то квадратное уравнение всегда будет иметь корни. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Данный элективный курс предназначен для предпрофильной и профильной подготовки обучающихся 9-11 класса общеобразовательной школы. Рассчитан на 17 часов.

Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая её целостности. Каждое занятие направлено на то, чтобы развивать интерес школьников к предмету.

расширение кругозора учащихся, установление непосредственных связей школьной программы математики с наукой и ее приложениями.

вооружить учащихся системой знаний по теме «Комплексные числа»;

рассмотреть применение комплексных чисел в разных науках, сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности;

сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

сформировать навыки работы со справочной литературой, с компьютером;

сформировать умения и навыки исследовательской работы;

способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;

способствовать формированию познавательного интереса к математике.

Содержание разделов дисциплины

1 Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи и арифметические действия над комплексными числами. – 4 часа

История открытия комплексных чисел. Определение множества комплексных чисел.

Арифметические действия с комплексными числами. Сопряжённые комплексные числа. Свойства сопряжённых чисел. Извлечение квадратных корней из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. – 2 часа

Изображение комплексных чисел точками на плоскости. Векторная интерпретация действий с комплексными числами.

3. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. – 4 часа

Полярные координаты точки и её радиус-вектор. Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Свойства модуля и аргумента комплексного числа. Примеры решения уравнений с комплексными переменными.

4. Степени и корни. 4 часа

Возведение в степень комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексного числа. Показательная форма комплексного числа.

Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи и арифметические действия над комплексными числами

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Применение комплексных чисел в геометрии

Методы преподавания определяются целями и задачами данного курса, направленного на формирование способностей учащихся.

Учащиеся овладевают математическими понятиями, способами математического исследования.

Важнейшим принципом методики изучения курса является постановка вопросов и заданий, позволяющих учителю и учащимся проверить уровень усвоения основных дидактических единиц и степень сформированности умений, приобретённых в процессе изучения курса. Это различные виды тестовых заданий и задания творческого характера.

элементы проектной, исследовательской технологий;

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

знать и уметь правильно употреблять термины, связанные с понятием комплексного числа;

уметь понимать смысл условий задач;

уметь представлять комплексное число в алгебраической, геометрической, тригонометрической и показательной формах;

знать и уметь правильно переходить от одной формы записи к другой форме;

уметь пользоваться техникой решения задач;

уметь пользоваться простейшими приёмами применения арифметических операций над комплексными числами;

уметь возводить в степень комплексное число и извлекать из него корень

уметь пользоваться справочным материалом для нахождения нужных формул и их использование при решении задач.

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

Задачи для самостоятельного решения, контрольные работы, выполнение проектной или исследовательской работы.

Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория, оборудованная мульти-медийными средствами обучения.

Средства обеспечения освоения дисциплины

1) Математика. Комплексные числа 9-11. Предпрофильная и профильная подготовка. Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я Гаишвили.

2) Единая коллекция Цифровых образовательных ресурсов: school-collection.edu.ru/‎

Перечень примерных контрольных работ:

1. Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи и арифметические действия над комплексными числами.

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Источник