какую форму имеет параллель эллипсоида

Эллипсоиды

Определение эллипсоида

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат каноническим уравнением

Плоские сечения эллипсоида

Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а).

Эллипсоиды вращения

Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны b>c)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, называется трехосным (или общим).

2. Эллипсоид можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате трех сжатий (растяжений) сферы единичного радиуса к трем взаимно перпендикулярным плоскостям.

3. Начало канонической системы координат является центром симметрии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида.

В самом деле, если точка принадлежит эллипсоиду, то точки с координатами при любом выборе знаков также принадлежат эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.46).

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Стандартное уравнение

Используя декартову систему координат, в которой начало координат является центром эллипсоида, а оси координат являются осями эллипсоида, неявное уравнение эллипсоида имеет стандартную форму

Параметризация

Эллипсоид можно параметризовать несколькими способами, которые проще выразить, если оси эллипсоида совпадают с осями координат. Обычный выбор

Измерение от центра, а не от полюса,

Измерение углов непосредственно к поверхности эллипсоида, а не к описанной сфере,

Объем

Это уравнение сводится к уравнению объема сферы, когда все три эллиптических радиуса равны, и к уравнению сплющенного или вытянутого сфероида, когда два из них равны.

Площадь поверхности

Площадь поверхности общего (трехосного) эллипсоида равна

Площадь поверхности эллипсоида вращения (или сфероида) может быть выражена через элементарные функции :

Примерная формула

Здесь p ≈ 1,6075 дает относительную ошибку не более 1,061%; значение p = 8 / 5 = 1,6 оптимально для эллипсоидов, близких к сферической, с относительной погрешностью не более 1,178%.

Плоские секции

Характеристики

Пересечение плоскости и сферы представляет собой окружность (либо сводится к одной точке, либо пусто). Любой эллипсоид является изображением единичной сферы при некотором аффинном преобразовании, а любая плоскость является изображением некоторой другой плоскости при таком же преобразовании. Итак, поскольку аффинные преобразования преобразуют круги в эллипсы, пересечение плоскости с эллипсоидом является эллипсом, единственной точкой или пусто. Очевидно, что сфероиды содержат круги. Это также верно, но менее очевидно, для трехосных эллипсоидов (см. Круглый раздел ).

Определение эллипса плоского сечения

его единичный вектор нормали. Следовательно

является центром пересечений окружности и

его радиус (см. диаграмму).

Если m _w = ± 1 (т. Е. Плоскость горизонтальна), пусть

Штифтовая конструкция

Построение «кегли и струны» эллипсоида вращения дается конструкцией вращающегося эллипса «кегли».

Построение точек трехосного эллипсоида сложнее. Первые идеи принадлежат шотландскому физику Дж. К. Максвеллу (1868 г.). Основные исследования и распространение на квадрики были выполнены немецким математиком О. Штауде в 1882, 1886 и 1898 годах. Описание конструкции эллипсоидов и гиперболоидов с помощью булавок и струн содержится в книге « Геометрия и воображение», написанной Д. Гильберт и С. Фоссен тоже.

Этапы строительства

с вершинами и фокусами эллипса

Полуоси

Уравнения для полуосей сгенерированного эллипсоида могут быть получены путем специального выбора для точки P :

Converse

Конфокальные эллипсоиды

Если Е представляет собой эллипсоид конфокальный к Е с квадратами его полуосей

Верно и обратное утверждение: если выбрать вторую строку длины l и определить

действительны, что означает, что два эллипсоида конфокальны.

Предельный случай, эллипсоид вращения

Свойства фокальной гиперболы

Свойство фокального эллипса

В общем положении

Как квадрика

Параметрическое представление

Ключом к параметрическому представлению эллипсоида в общем положении является альтернативное определение:

Аффинное преобразование может быть представлено в виде перевода с вектором ф ₀ и регулярным 3 × 3 матрицы A :

Параметрическое представление эллипсоида общего положения может быть получено параметрическим представлением единичной сферы (см. Выше) и аффинным преобразованием:

Приложения

Эллипсоидальная форма находит множество практических применений:

Динамические свойства

Масса эллипсоида равномерной плотности р является

В моменты инерции эллипсоида однородной плотности являются

При a = b = c эти моменты инерции сводятся к моментам инерции для сферы однородной плотности.

Эллипсоиды и кубоиды стабильно вращаются вдоль своей большой или малой оси, но не вдоль средней оси. Это можно увидеть экспериментально, бросив ластик с некоторым вращением. Кроме того, соображения момента инерции означают, что вращение вдоль большой оси более легко нарушить, чем вращение вдоль малой оси.

Одним из практических последствий этого является то, что разносторонние астрономические тела, такие как Хаумеа, обычно вращаются вдоль своих малых осей (как и Земля, которая просто сплюснута ); кроме того, из-за приливной блокировки спутники находятся на синхронной орбите, такие как орбита Мимаса, с их большой осью, выровненной радиально по отношению к их планете.

Вращающееся тело из однородной самогравитирующей жидкости примет форму сфероида Маклорена (сплюснутый сфероид) или эллипсоида Якоби (разносторонний эллипсоид), когда оно находится в гидростатическом равновесии и при умеренных скоростях вращения. При более быстром вращении можно ожидать неэллипсоидальной грушевидной или яйцевидной формы, но они нестабильны.

Динамика жидкостей

По вероятности и статистике

Таким образом, функция плотности представляет собой скалярное преобразование квадратичного выражения в скалярное преобразование. Более того, уравнение для любой поверхности изоплотности утверждает, что выражение квадрики равно некоторой константе, специфичной для этого значения плотности, а поверхность изоплотности является эллипсоидом.

В высших измерениях

Источник

Какую форму имеет параллель эллипсоида

Эллипсоид — Эллипсоид. ЭЛЛИПСОИД, поверхность, которую можно получить из сферы, если сферу сжать (растянуть) в произвольных отношениях в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Если эллипс вращать вокруг одной из его осей, то описываемая им поверхность… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ЭЛЛИПСОИД — (греч., от elleipsis эллипсис, и eidos сходство). Геометрическое тело, происходящее от обращения полуэллипса вокруг одной из своих осей. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ЭЛЛИПСОИД греч., от elleipsis … Словарь иностранных слов русского языка

эллипсоид — а, м. ellipsoïde m. спец. Поверхность, образуемая вращением эллипса вокруг одной из своих осей. БАС 1. Глобусы в виде шара, груши, элипсоида. Кукольник Примеч. // К. 1851 1 556. Гало. Это эллипсоид диаметром более 600 тысяч световых лет,… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Эллипсоид — земной (a. earth ellipsoid; н. Erdellipsoid; ф. ellipsoide terrestre; и. elipsoide terrestre) эллипсоид вращения, наилучшим образом представляющий фигуру Геоида. Eго размеры и положение в теле Земли определяют из градусных измерений,… … Геологическая энциклопедия

эллипсоид — сущ., кол во синонимов: 5 • безгранник (2) • коноид (4) • референц эллипсоид (2) … Словарь синонимов

ЭЛЛИПСОИД — ЭЛЛИПСОИД, эллипсоида, муж. (мат.). Яйцевидное шарообразное тело, получающееся при вращении эллипса вокруг одной из своих осей. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

эллипсоид — а; м. Матем. Поверхность, образуемая вращением эллипса (1.Э.; 1 зн.) вокруг одной из своих осей. ◁ Эллипсоидный, ая, ое. * * * эллипсоид замкнутая поверхность (2 го порядка). Эллипсоид можно… … Энциклопедический словарь

Эллипсоид — замкнутая центральная поверхность 2 го порядка. Эллипсоид имеет центр симметрии и три оси симметрии, которые называются осями эллипсоида: Смотри также: эллипсоид деформации эллипсоид напряжений … Энциклопедический словарь по металлургии

эллипсоид — 3.43 эллипсоид: Поверхность, полученная при вращении эллипсоида вокруг собственной оси. Примечание Параметры каждого эллипсоида определяются измерениями формы и размеров Земли, чтобы аппроксимировать геоид с наиболее возможно высокой точностью.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ЭЛЛИПСОИД — (от эллипс и греч. eidos вид) поверхность 2 го порядка. Может быть получена из поверхности шара, если шар сжать (растянуть) в произвольных отношениях в трёх взаимно перпендикулярных направлениях х, у, z (см. рис.). Если эллипс вращать вокруг… … Большой энциклопедический политехнический словарь

См. также: Эллиптический тренажёр Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.

Площадь поверхности эллипсоида вращения:

В элементарных функциях:

Oblate, prolate — сплюснутый и вытянутый соответственно.

Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Объём эллипсоида:

Земной эллипсоид

Земной эллипсоид, эллипсоид вращения, наилучшим образом представляющий фигуру геоида, то есть фигуру Земли в целом. Для наилучшего представления геоида в пределах всей Земли обычно вводят общий земной эллипсоид и определяют его так, чтобы: 1) объём его был равен объёму геоида, 2) плоскость экватора и малая ось его совпадали соответственно с плоскостью экватора и осью вращения Земли и 3) сумма квадратов отступлений геоида от общего земной эллипсоид по всему земному шару была наименьшей. Для наилучшего же представления фигуры геоида в пределах той или иной области земной поверхности применяют наиболее подходящий земной эллипсоид и определяют его так, чтобы: 1) сумма квадратов отклонений геоида в пределах этой области была наименьшей и 2) плоскость экватора и малая ось его были параллельны соответственно плоскости экватора и оси вращения Земли. Общий земной эллипсоид мало отличается от земного сфероида, представляющего соответствующую фигуру равновесия планеты.

Так как выяснено, что Земля сплюснута не только в направлении её полюсов, но и по её экватору, хотя и очень незначительно, то иногда в теоретических расчётах применяют эллипсоид с тремя неравными осями, наименьшая из которых совпадает с осью вращения Земли. Размеры земного эллипсоида и его положение в теле Земли определяют из градусных измерений, измерений силы тяжести и наблюдений искусственных спутников Земли (см. Спутниковая геодезия). Знание размеров земного эллипсоида необходимо для научных и практических целей геодезии и картографии, а также для других отраслей науки и техники. В геодезических и картографических работах во времена СССР и других социалистических стран был принят Красовского эллипсоид.

В России в качестве общего земного эллипсоида принят эллипсоид ПЗ-90 (параметры Земли 1990) с экваториальной полуосью а = 6 378 136 метров и сжатием α = 1 : 298,2578. Общие земного эллипсоида используются в спутниковых системах позиционирования: в ГЛОНАСС – ПЗ-90, в GPS – WGS-84 (World Geodetic System 1984), где а = 6 378 137 метров, α = 1 : 298,2572.

Земной эллипсоид, близкий к геоиду в отдельном регионе Земли и связанный с астрономо-геодезической сетью этого региона, называют референц-эллипсоидом. В России принят референц-эллипсоид Красовского, центр которого в СК-95 (система координат 1995) смещён относительно центра масс Земли на 156 метров. Земной эллипсоид использован ещё в 1791 году при введении метрической системы единиц (Франция), в которой за 1 метр была принята 10–7 часть четверти меридиана эллипсоида Деламбра.

Красовский Ф. Н., Руководство по высшей геодезии (pdf), ч. 2, М., 1942; Огородова Л. В. Высшая геодезия (djvu). М., 2006.

Референц-эллипсоид

Основная статья: Референц-эллипсоид

Фигура референц-эллипсоида наилучшим образом подходит для территории отдельной страны или нескольких стран. Как правило, референц-эллипсоиды принимаются для обработки геодезических измерений законодательно. В России/СССР с 1946 года по 2012 использовалось 3 основных системы координат основанных на элипсоиде Красовского (СК-42, СК-63 и СК-95). С 2012 ПП РФ 1463 и 1240 от 28 декабря 2012 года и от 24 ноября 2016 соответственно использование СК-42 и СК-95 допускается до 1 января 2021 года).

— эллипсоиды ГСК-2011 и ПЗ-90.11. Эллипсоиды СК-95 и Красовского выводятся из употребления к 1 января 2021 г. В США общеупотребительным является референц-эллипсоид WGS-84.

Ориентирование референц-эллипсоида в теле Земли подчиняется следующим требованиям:

Для закрепления референц-эллипсоида в теле Земли необходимо задать геодезические координаты B0, L0, H0 начального пункта геодезической сети и начальный азимут A0 на соседний пункт. Совокупность этих величин называется исходными геодезическими датами.

Основные референц-эллипсоиды и их параметры

Общеземной эллипсоид

Общеземной эллипсоид должен быть ориентирован в теле Земли согласно следующим требованиям:

При ориентировании общеземного эллипсоида в теле Земли (в отличие от референц-эллипсоида) нет необходимости вводить исходные геодезические даты.

Поскольку требования к общеземным эллипсоидам на практике удовлетворяются с некоторыми допусками, а выполнение последнего (3) в полном объёме невозможно, то в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации эллипсоида, параметры которых очень близки, но не совпадают (см. ниже).

Источник