Как называется кривая в графике

Кривая

Кривая или линия — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно.

Содержание

Элементарная геометрия

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и также трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Параметрические определения

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в пространство:

При этом, кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если , путями.

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

и

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) из отрезка на отрезок , такая что

Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.

Кривая Жордана

Кривой Жордана называется образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой или простой дугой.

Следует отметить что кривая Жордана является довольно сложным объектом, например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега.

Комментарий

Существует большой соблазн определить кривую как образ непрерывного отображения отрезка в пространство.

Однако возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат, например, кривая Пеано. Более того, согласно теореме Мазуркевича, компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Аналитические кривые

Аналитическая кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению , где является аналитической функцией. При этом на функцию накладываются ограничения, которые гарантируют, что

Аналогично определяются аналитические кривые в старших размерностях.

Алгебраические и трансцендентные кривые

Важный класс аналитических кривых составляют те, для которых функция есть многочлен от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением , называется алгебраической, в противном случае — трансцендентной.

Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в алгебраической геометрии. При этом бо́льшую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на комплексной проективной плоскости. В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида

,

где — однородный многочлен трех переменных, являющихся проективными координатами точек.

Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать через линию уровня аналитической функции (или, в многомерном случае, системы функций).

Типы кривых

Типы точек на кривой

Обобщённые кривые

Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая , она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество , гомеоморфное . Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство топологической размерности 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

Источник

Как называется кривая в графике

Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами.

Кривые линии могут быть плоские, т. е. такие, которые всеми своими точками лежат в одной плоскости, и пространственные, т. е. такие, точки которых не принадлежат одной плоскости). Примерами плоских кривых линий являются окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; примерами пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса.

Для построения проекций кривой (плоской или пространственной) необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек (рис. 289). Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций.

Степень уравнения определяет «порядок» кривой: эллипс — кривая второго порядка. Кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.

Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Если, например, к окружности, расположенной в плоскости, составляющей с плоскостью проекций острый угол, проведена касательная, то она спроецируется в касательную к эллипсу, представляющему собой проекцию этой окружности. На рис. 289 изображены пространственная кривая, ее проекции на π₁, и на п₂, касательная к кривой в ее точке К и проекции этой касательной. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Чтобы отчетливее представить себе кривую в пространстве, следует при задании плоской или пространственной кривой ее проекциями указать на проекциях некоторые точки, характерные для самой кривой или для ее расположения относительно плоскостей проекций. Например, могут быть отмечены точки кривой, наиболее удаленные относительно плоскостей проекций и наиболее близкие к ним; для этого надо проводить плоскости, касательные к кривой и параллельные соответствующим плоскостям проекций: на рис. 290 пл. а параллельная пл. п₂, позволяет установить, что точка G на кривой в пространстве наиболее удалена от плоскости п₂.

Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, может быть неизменной (на всем протяжении кривой или на отдельных ее участках) или изменяться в разных точках кривой. Например, искривленность окружности или искривленность цилиндрической винтовой линии неизменна на всем их протяжении, а искривленность эллипса повторяется в его квадрантах, но в пределах одного квадранта непрерывно изменяется. Применяется термин кривизна линии. Кривизна выражается числом; она характеризует кривую в данной ее точке, точнее, на бесконечно малой дуге — окрестности этой точки.

Длина некоторого участка кривой как плоской, так и пространственной определяется приближенно, путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерения длины звеньев этой ломаной линии (это, конечно, не относится к тем кривым, длина которых может быть определена путем несложных вычислений ). Для уменьшения ошибки следует брать отрезки ломаной, мало отличающиеся по длине от дуг кривой, хордами которых являются эти отрезки. На рис, 291 показано определение длины кривой АВС: горизонтальная проекция — кривая А’В’С’ — разбита на малые части и «развернута» в прямую на оси х так, что отрезки А₀1₀,1₀В₀ и т. д. соответственно равны хордам A’1′, 1′ В’ и т. д.; в точках А₀,1₀ и т. д. проведены перпендикуляры к оси х, и на этих перпендикулярах отложены аппликаты точек кривой. Получаем ломаную, длина которой может быть приближенно принята за длину кривой АВС.

ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ

Вращая секущую KS₁ (рис. 292) вокруг оси К так, чтобы точка К₁ стремилась к точке К, получим предельное положение КТ — положение касательной к кривой в ее точке К.

Касательная передает направление движения точки, образующей кривою; направление касательной в некоторой точке кривой называют направлением кривой в этой точке.

Кривая в точке К на рис. 292 плавная: у нее в точке К одна касательная. Если кривая составлена только из таких точек, то это плавная кривая линия (рис. 293, слева). Но на кривой могут быть точки (см. рис. 293, справа), в которых имеются две

касательные с углом между ними, не равным 180°. Такую точку называют точкой излома, угловой или выходящей, и кривая в такой точке не является плавной. Здесь как бы две пересекающиеся между собой под углом кривые АВ и ВС. Если угол φ окажется равным 180°, то кривые АВ и ВС соприкоснутся и каждая из них в точке В окажется плавной. Соприкасающиеся кривые имеют одну и ту же касательную в общей их точке, а нормали к кривым в этой точке располагаются на одной прямой.

На рис. 294 в точке К кривой проведены касательная КТ и нормаль KN. Если во всех точках кривой повторяется такое же расположение относительно касательной и нормали в рассматриваемой окрестности, то кривая является выпуклой и ее точки — обыкновенными (или правильными). Примером служит эллипс.

Можно указать еще двойную точку (иначе узловую или самопересечения), в которой кривая пересекает самое себя и имеет две касательные (рис. 296, точка D),

и точку самоприкосновения, в которой кривая также встречает самое себя, но обе касательные совпадают (там же, точка Е).

Все такие случаи могут встречаться на проекциях плоских кривых, причем для плоской кривой достаточно иметь одну проекцию (если, конечно, эта проекция не является прямой линией), чтобы судить о характере ее точек, так как любая особенность этой проекции выражает такую же особенность самой плоской кривой.

Кривизной плоской кривой в какой-либо ее точке A₁ (рис. 297) считается предел, к которому стремится отношение угла между касательными, проведенными в соседних точках А₁ и A₂ кривой, к дуге А₁А₂, если точка A₂ стремится к А₁:

Итак, кривизной кривой в некоторой ее точке А называется предельное значение отношения угла φ к дуге А₁А₂. Кривизна обозначается буквой k.

Очевидно, угол φ может быть представлен и как угол между нормалями к кривой в точках A₁ и А₂. Если представить себе окружность, проходящую через точку (рис. 297) и две соседние с ней точки на кривой, стремящиеся к точке А₁ то окружность придет к своему предельному положению, когда точка пересечения нормалей C₁ займет свое предельное положение и определится некоторый радиус С₁A₁. При этом окружность соприкоснется с кривой в точке A₁, у них получится общая касательная и общая нормаль, на которой лежит центр соприкасающейся окружности. Применяются термины: круг кривизны кривой в данной точке, центр кривизны (или центр круга кривизны), радиус кривизны (или радиус круга кривизны). Кривизна кривой в какой-либо точке равна обратной величине радиуса кривизны k=1/r. Очевидно для окружности в любой ее точке соприкасающаяся окружность имеет радиус, равный радиусу данной окружности. Отсюда кривизна окружности во всех ее точках равна обратной величине радиуса этой окружности:

k_окр=1/r. Чем больше R, тем меньше k.

На рис. 299 показано приближенное построение касательной и нормали к плавной кривой в некоторой ее точке К.

На рис. 300 показано приближенное построение центра кривизны в некоторой точке К кривой линии.

Отсюда определяется кривизна в точке К, равная

Если построить центры кривизны данной кривой в ряде её точек; то через эти центры в свою очередь пройдет кривая — геометрическое место центров кривизны данной кривой, называемое ее эволютой. Сама же данная кривая по отношению к ее эволюте называется эвольвентой. Например, у кривой, называемой эвольвентой окружности, центры кривизны в различных точках этой кривой-расположены на окружности, которая и является эволютой по отношению к данной эвольвенте.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ ЛИНИИ

Многое из рассмотренного по отношению к плоским кривым может быть отнесено и к пространственным. Например, касательная прямая к пространственной кривой линии также получается из секущей KS₁, (рис. 292) при слиянии точек К и К,. Также на пространственной кривой могут быть точки различного рода: обыкновенные (правильные), точки перегиба, «клювы» и др. Но если для плоской кривой можно было провести в точке К (рис. 292) только один перпендикуляр KN (нормаль) к касательной КТ, то для пространственной кривой таких перпендикуляров в точке касания бесчисленное множество, что приводит к понятию о нормальной плоскости. Далее, для плоской кривой достаточно одной проекции, чтобы судить о характере ее точек, а для пространственной кривой судить о характере ее точек можно лишь при наличии двух проекций кривой. Например, на рис. 289 и 290 сопоставление горизонтальной и фронтальной проекций показывает, что хотя на горизонтальной проекции имеется двойная точка, но на самой кривой двойной точки нет. Так же, как и для плоской кривой, касательная к кривой в пространстве (рис. 289) проецируется в касательную к проекции этой кривой. Проецирующая плоскость, проведенная через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве.

Плоская кривая всеми своими точками лежит в одной плоскости. Для пространственной же кривой можно говорить лишь о плоскости, наиболее близко подходящей к кривой в рассматриваемой ее точке. Такая плоскость носит название соприкасающейся. Положим, что на рис. 292 изображен участок не плоской кривой, а пространственной. Три точки К, К₁ и К₂ этой кривой определяют некоторую плоскость. Предельное положение этой плоскости, когда секущая KS₂ станет касательной в точке К и третья точка предельно приблизится к точке касания, определяет соприкасающуюся плоскость в точке К пространственной кривой. Вблизи точки К кривую можно рассматривать как бы лежащей в соприкасающейся плоскости.

Соприкасающаяся и нормальная плоскости взаимно перпендикулярны; это вытекает из того, что соприкасающаяся плоскость содержит касательную к кривой.

При взаимном пересечении нормальной и соприкасающейся плоскостей получается одна из нормалей — главная нормаль. Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

К соприкасающейся и нормальной плоскостям добавляется еще третья плоскость, к ним перпендикулярная. Она проходит через касательную и бинормаль. Ее называют спрямляющей плоскостью.

Этими тремя плоскостями, образующими трехгранник, пользуются как координатными при рассмотрении кривой в данной ее точке. Положение трехгранника зависит от положения точки на кривой.

Если вместо угла между касательными, как это имело место для плоских кривых, и отношения между этим углом и длиной дуги между точками касания взять угол между соприкасающимися плоскостями (он равен углу между бинормалями) и разделить этот угол на длину между рассматриваемыми точками пространственной кривой, то в предельном значении этого отношения получается так называемая кривизна кручения или вторая кривизна пространственной кривой. Вспомним, что пространственные кривые иначе называются кривыми двоякой кривизны.

Если касательные к пространственной кривой линии во всех ее точках одинаково наклонены в какой-либо плоскости, то такие линии называются линиями одинакового уклона.

Цилиндрическая винтовая линия’) представляет собой пространственную кривую линию одинакового уклона. Острие резца, соприкасаясь с поверхностью равномерно вращающегося цилиндрического стержня, оставляет на нем след в виде окружности. Если же при этом сообщить резцу равномерное поступательное движение вдоль оси цилиндра, то на поверхности цилиндра получится цилиндрическая винтовая линия.

На рис. 301 показано образование винтовой линии на поверхности цилиндра от движения точки А по образующей ЕС и вращательного движения этой образующей. Здесь изображено несколько положений этой образующей: Е₀С₀, E₁,С₁. ;

Если при перемещении образующей из положения Е₀С₀ в положение Е₁С₁ точка займет положение А₁, то отрезок Е₁А₁ определит расстояние, которое точка прошла по образующей от своего первоначального положения. При последующем положении образующей (E₂С₂) точка поднимется на высоту Е₂А₂ — 2Е₁А₁ и т. д. Когда образующая сделает полный оборот, точка переместится по ней на расстояние Е₀А₁₂ = 12Е₁А₁.

При дальнейшем вращении образующей точка А начнет образовывать второй витоку или оборот винтовой линии, занимая положения А 1 ₁, А 1 ₂ и т. д.

Расстояние между точками А₀ и А₁₂ называется шагом винтовой линии. Шаг может быть выбран в зависимости от тех или иных условий.

На рис. 302 выполнено построение проекций цилиндрической винтовой линии. Предварительно построены проекции (как это рассматривалось в курсе черчения средней школы) прямого кругового цилиндра. Окружность основания цилиндра (на горизонтальной проекции) и шаг (отрезок h, отложенный по оси цилиндра на фронтальной проекции) разделены на одинаковое число (n) частей; на рис. 302 взято n = 12. Начальное положение точки А указано проекциями А» й А’ — это точка, отмеченная буквой О’ на окружности.

Проекция на плоскости, параллельной оси цилиндра, в данном случае фронтальная проекция цилиндрической винтовой линии, подобна синусоиде.

Если винтовая линия изображается без цилиндра и без проекций точек, то указание о том, является ли винтовая линия правой или левой, надо давать или надписью, или стрелками, так, как это показано на рис. 304 слева для правой винтовой линии, справа для левой.

Развертка витка цилиндрической винтовой линии показана на рис. 305. В развернутом виде каждый виток представляет собой отрезок прямой. Это следует из образования винтовой линии: поскольку окружность основания цилиндра делилась на равное число частей и шаг винтовой линии делился на такое же число равных частей, развертку винтовой линии на протяжении ее шага можно рассматривать как геометрическое место точек, для каждой из которых ордината пропорциональна абсциссе, т. е. у=кх. А это уравнение прямой линии. Касательные к винтовой линии совпадают на развертке с прямой, в которую развертывается виток винтовой линии.

На рис. 305 при двух шагах винтовой линии получились два ее отрезка под углом φ₁, к прямой, представляющей собой развернутую окружность основания цилиндра. Крутизна подъема винтовой линии выражается формулой

При одном и том же d величина угла φ₁, зависит только от шага винтовой линии; для получения малого угла подъема следует брать малый шаг, и наоборот. Если же шаг остается неизменным для цилиндров разного диаметра, то угол подъема получится тем меньше, чем больше будет диаметр цилиндра.

Модель винтовой линии можно построить, если взять прямоугольник с начерченной на нем диагональю и свернуть его в виде прямого кругового цилиндра; при этом диагональ прямоугольника образует один виток винтовой линии. Очевидно, что винтовая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности кругового цилиндра — геодезическая линия этой поверхности.

Действительно, на поверхности такого цилиндра между двумя точками может быть проведено множество линий. Одна из этих линий дает кратчайшее расстояние между точками. При развертывании поверхности такая линия развертывается в прямую. Это присуще линиям на поверхности, называемым геодезическими.

Рассмотрим следующее свойство цилиндрической винтовой линии.

Положим (рис. 301), что к винтовой линии в какой-нибудь ее точке A₃ проведена касательная, пересекающая пл. п₁ в точке К₃.

Угол между винтовой линией и любой образующей цилиндра выражается углом между этой образующей и касательной (к винтовой линии), проведенной в точке, общей для винтовой линии и образующей. Развертка на рис. 305 показывает, что между данной винтовой линией и образующими цилиндра получается постоянный угол, т. е. все касательные к винтовой линии одинаково наклонены к образующим цилиндра и пересекают пл. п₁ под одним и тем же углом φ₁. Этот же угол был получен между развертками винтовой линии и окружности основания.

При развертывании боковой поверхности цилиндра с нанесенной на ней винтовой линией, например, элемент А₀А₃Е₃ (рис. 301) принимает форму прямоугольного треугольника К₃А₃Е₃, в котором К₃А₃ является касательной к винтовой линии в точке А₃, а К₃Е₃— проекцией касательной на плоскости основания цилиндра, т. е. касательной к окружности его основания. Отсюда следует, что точка К₃ принадлежит эвольвенте окружности, так как касательные во всех точках цилиндрической винтовой линии имеют следы на плоскости основания цилиндра, образующие эвольвенту окружности основания этого цилиндра.

Воспользуемся этим для построения касательной к цилиндрической винтовой линии в какой-либо ее точке. На винтовой линии, изображенной на рис. 306, касательная построена в точке К. Прежде всего проведена горизонтальная проекция касательной — отрезок К’1′ — перпендикулярно к О’К’. По точке 1′ на эвольвенте найдена проекция после чего может быть проведена фронтальная проекция касательной — прямая 1″К». Построение повторено для точки L.

Можно построить на поверхности цилиндра кривую линию, образованную так же, как и винтовая линия, но вращение образующей цилиндра оставить равномерным, а перемещение точки по образующей сделать переменным по какому-либо закону. Такие кривые иногда называют винтовыми линиями с переменным шагом.

Построение дано на рис. 307 при равномерно ускоренном движении точки по образующей. Заданы перемещения точки в каждом из отмеченных двенадцати положений образующей; например, при девятом положении точка переместится на отрезок С₉Е₉ (считая от восьмого положения этой точки).

На рис. 307 дана также развертка построенной линии; угол подъема переменный.

Если точка перемещается равномерно по образующей прямого кругового конуса, а образующая совершает вращательное движение вокруг оси конуса с постоянной угловой скоростью, то траекторией, точки является коническая винтовая линия ; ее проекции изображены на рис. 308. Перемещения точки по образующей пропорциональны угловым перемещениям этой образующей. На рис. 308 отмечено на поверхности конуса двенадцать положений образующей, и на них указаны соответствующие положения точки. Расстояние между точками смежных витков А₀А₁₂ — h измеренное по образующей, называется шагом конической винтовой линии.

Проекция конической винтовой линии на плоскости, параллельной оси конуса (в данном случае фронтальная проекция), представляет собой синусоиду с уменьшающейся высотой волны; проекция на плоскости, перпендикулярной к оси конуса (в данном случае горизонтальная проекция), представляет собой спираль Архимеда.

На развертке боковой поверхности конуса (рис. 308, справа) винтовая линия развернется также в спираль Архимеда, так как равномерному угловому перемещению радиуса на развертке поверхности конуса соответствует равномерное же перемещение точки по этому радиусу. На рисунке показана развертка для двух оборотов конической винтовой линии.

Винтовая линия может быть построена не только на цилиндрической или конической поверхности. Примером может служить винтовая линия (рис. 309) на поверхности, образован ной вращением дуги ВВ вокруг оси 00, т. е. на поверхности тора. Подобную винтовую линию можно видеть на глобоидальных червяках (см. рис. 309, справа).

Источник