квадрат куб а дальше какие степени
Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа
На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.
Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».
Научимся вычислять квадрат и куб числа.
Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.
Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.
Степень числа
Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.
Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4
В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.
В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.
Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.
В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:
а— любое натуральное число.
Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».
Число а называют основанием (число, возводимое в степень).
n— это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).
Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.
Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.
Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 5
Читают данную запись следующим образом:
4 5 — четыре в пятой степени.
Данная степень равна произведению трех двоек.
2— основание степени.
3— показатель степени.
Данная степень равна произведению четырех пятерок.
5— основание степени.
4— показатель степени.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Квадрат и куб числа
Вторую степень числа называют квадратом числа.
Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а 2 (говорят и читают «а в квадрате»).
2 2 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».
10 2 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».
27 2 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».
Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в квадрате равняется одному: 1 2 = 1 ∙ 1 = 1.
Два в квадрате равняется четырем: 2 2 = 2 ∙ 2 = 4.
Три в квадрате равняется девяти: 3 2 = 3 ∙ 3 = 9.
Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16.
Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5 2 = 5 ∙ 5 = 25.
Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6 2 = 6 ∙ 6 = 36.
Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7 2 = 7 ∙ 7 = 49.
Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8 2 = 8 ∙ 8 = 64.
Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9 2 = 9 ∙ 9 = 81.
Десять в квадрате равняется сотне: 10 2 = 10 ∙ 10 = 100.
Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел
Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.
Решим уравнение х 2 = 49.
Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).
Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.
х 2 = 49
х = 7
Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х 2 = 49, получим:
7 2 = 49
7 ∙ 7 = 49
49 = 49
Ответ: х = 7.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.
Разберем пример первый.
Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 10 4 ).
10— это основание.
4— это показатель степени.
Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
10 4 = 1 0000
На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:
10 4 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 0000
Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 10 3 ).
10— это основание.
3— это показатель степени.
Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
10 3 = 1 000
Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:
10 3 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 000
Рассмотрим обратную ситуацию:
Представим число 100 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 00 ).
Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
1 00 = 10 2
10— это основание.
2— это показатель степени.
Рассмотрим еще один подобный пример.
Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 0000 ).
Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
1 0000 = 10 4
10— это основание.
4— это показатель степени
Третья степень числа тоже имеет свое название.
Число в третьей степени называют кубом числа.
Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а 3 (говорят и читают «а в кубе»).
2 3 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».
10 3 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».
27 3 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».
Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в кубе: 1 3 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.
Два в кубе: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Три в кубе: 3 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.
Четыре в кубе: 4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.
Пять в кубе: 5 3 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.
Шесть в кубе: 6 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.
Семь в кубе: 7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.
Восемь в кубе: 8 3 = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.
Девять в кубе: 9 3 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.
Десять в кубе: 10 3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.
Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
Таблица кубов первых десяти натуральных чисел
1000
С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.
Представим в виде куба число 343.
По таблице кубов видим, что 343 = 7 3
Проверим: найдем произведение трех семерок:
7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343
На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.
Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.
Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.
Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.
За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.
Рассмотрим поясняющие примеры.
При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.
Пример 1.
Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).
1) 8 2 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).
2) 64 ÷ 4 = 16
Пример 2.
Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.
Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.
Найдем разность 21 и 11.
Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.
Найдем, чему равно 10 2 по определению степени или по таблице квадратов.
2) 10 2 = 10 ∙ 10 = 100
Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.
Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.
3) 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
4) 100 ∙ 8 = 800
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.
Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.
Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.
Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)
Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.
Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.
Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.
В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.
В Древней Индии успешно развивалась наука.
Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.
Индийские ученые часто оперировали большими числами.
В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.
Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.
Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.
Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.
В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.
В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».
Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.
Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.
Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.
Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.
Современное обозначение степеней (а n ), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Корни и степени
Здесь — основание степени, — показатель степени.
Степень с натуральным показателем
Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.
Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:
Степень с целым показателем
Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.
Свойства арифметического квадратного корня:
Кубический корень
Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.
Сразу договоримся, что основание степени больше 0.
При этом также выполняется условие, что больше 0.
Запомним правила действий со степенями:
— при перемножении степеней показатели складываются
— при делении степени на степень показатели вычитаются
— при возведении степени в степень показатели перемножаются
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
Это полезно
В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.
Степень числа. Квадрат и куб числа
Содержание
Мы уже узнали, что записать сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно в виде произведения. Например, если у нас есть выражение:
Но можем ли мы сделать короче выражение, в котором произведение имеет равные друг другу множители? Ответ прост – можем! Если в случае со сложением чисел, где все слагаемые одинаковые, мы получим произведение, то при умножении равных друг другу чисел, мы получим степень числа. Давайте разберем поподробнее, чем же является степень и как решать выражения со степенями.
Понятие степени
У каждого степенного выражения есть свое основание и свой показатель. Давайте рассмотрим на примере:
Квадрат и куб числа
Для удобства запоминания квадратов чисел существуют специальные таблицы квадратов первых 10 натуральных чисел:
Для запоминания кубов чисел также есть специальные таблицы кубов первых 10 натуральных чисел:
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $n^<3>$ | $1$ | $8$ | $27$ | $64$ | $125$ | $216$ | $343$ | $512$ | $729$ | $1000$ |
Первую степень числа считают равной самому числу.
Решение задач
Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.
Формулы сокращенного умножения.
Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.
Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2 ) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).
О существовании этих закономе рностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.
Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.
И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):
С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:
Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:
И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны, и это значит:
Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.