косинус в каком классе изучают

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-м классе

Разделы: Математика

Изучение темы «Теорема косинусов» в 9-ом классе.

Начало урока. Организационный момент устанавливает личностный контакт учителя с учениками через формирование целей урока, их взаимного принятия и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достигается анализом успешной работы учащихся с теоремой синусов и ее применением к решению задач.

Этап подготовки к осознанному восприятию нового материала

Задание: Используя треугольник АВС, найдите синус угла А и косинус угла А.Сделайте вывод.

Замечание. Острые углы А и В прямоугольного треугольника АВС дополняют друг друга. 90 о и являются дополнительными.

Вывод: Косинус острого угла равен синусу дополнительного угла.

3. (Ученик 3) Используя четырехзначные математические таблицы Брадиса, найдите

1) cos25 о ; 2) угол , если cos = 0,4756;
cos25 о 15′; cos = 0,5638;
cos25 о 18′; cos = 0,8975.
сos43 о 39′.

4. Анализ и обсуждение домашнего задания. Слайд 3.

1) (Ученик 4) Задача 1. Постройте угол, если его
а) синус угла равен
б) косинус равен

2) (Ученик 5) Задача 2. Найдите площадь треугольника, если

а) две стороны треугольника равны 20 см и 14 см, а косинус угла между ними –
б) две стороны треугольника равны 17 см и 8 см, а косинус угла между ними

5. Обсуждение задачи 2б. Изменим искомое в задаче 2б: Найдите квадрат третьей стороны треугольника по алгоритму: (*)

Запомните алгоритм и результат!

Этап изучения нового материала. Слайд 4. Теорема

В каждом треугольнике квадрат любой стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС АВ = с, АС = b, ВС = а
Доказать: c 2 = a 2 + b 2 – 2 abcosC
Доказательство.
А) если о, тогда cosC = 0 и c 2 = a 2 + b 2 (Теорема Пифагора); Слайд 5.
Б) если – острый, то для доказательства применим алгоритм (*):Слайд 6.

В) если – тупой. Слайд 6. Доказательство проведите самостоятельно.

Замечание: Вернитесь к измененной домашней задаче 2б и вычислите ВД 2 по теореме косинусов. Сравните ответы.

Работа с учебником

1. Прочитайте доказательство теоремы в учебнике Л.С. Атанасяна Геометрия 7–9, стр.257.
2. Составьте алгоритм доказательства теоремы.
3. Расскажите основную идею доказательства.
4. Сравните доказательства. Найдите положительные и отрицательные стороны обоих доказательств.
5. Почему в доказательстве по учебнику не рассматриваются три случая?

Основные задачи – следствия из теоремы косинусов

3. СЛЕДСТВИЕ 2.Определение вида треугольника, зная его стороны (cлайд 9).

Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла?

ВЫВОД.

Проверьте вывод на выполненных задачах.

4. СЛЕДСТВИЕ 3. Формула медианы треугольника. Слайд 10.

– Решение проведите самостоятельно.

Задача. Стороны треугольника 3; 4 и 6. Найти длину медианы, проведенной к большей стороне.

5. СЛЕДСТВИЕ 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: d₁ 2 + d₂ 2 = 2a 2 + 2b 2 Слайд 11.

Доказательство проведите самостоятельно и рассмотрите различные способы.

Задача. В параллелограмме стороны равны 4 см и 6 см. Одна из диагоналей 8 см. Найдите вторую диагональ.

– Дополняем теорию. (Задания на исследование по группам) Какие ранее изученные теорем можно доказать с помощью вывода теоремы косинусов?

1. Теорема о средней линии треугольника. (Помогает Слайд 12.)
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (Помогает Слайд 13)

Практическое приложение теоремы косинусов

По Слайдам 14, 15 составьте задачи о нахождении расстояния между двумя недоступными предметами и решите их.

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала.

Домашенее задание: разобраться в теории, найти другие способы решения задач-следствий и оценить их; № 1025авд, 1030, 1031.

Источник

Косинус в каком классе изучают

Или их изучают в разных классах, в зависимости от того, какой это курс математики: алгебра или геометрия?

моя в 8 еще не изучала

а я изучала в 8 по пограмме 1-10

На геометрии изучают в конце 8-го, хотя иногда бывает и только в 9-ом, вроде бы.

На алгебре всегда изучали в 9-ом, но в новой программе переехали аж в 10-ый.

Или их изучают в разных классах, в зависимости от того, какой это курс математики: алгебра или геометрия?
на геометрии в 8, как отношение сторон в прямоугольном треугольнике
на алгебре в 9, со всякими формулами приведения и пр.
в 10-11, по-моему, аркиснусы и арккосинусы, плюс графики функций

Там могут и в 5-м изучать.:065: Я про программу в «нормальной» школе интересовалась.

моя дочь учится по новой нумерации 11 лет, началка 1-4 (т.е. полных 11 лет)
по геометрии в 8 классе, по алгебре весной в 9 классе проходили. Программа самая обычная, т.к. языковая гимназия

:)) я в 89 ещё не родилась, так что, видимо, по новой).

:005: моя в 8 не проходила (настаивает категорически), а наши в одной школе учатся:065:

Что-то у вас с геометрией в школе. как бы это сформулировать. Должны были проходить. В третьей четверти.

а вместе с треугольниками не проходили по геометрии?
вот по алгебре в 9классе точно проходили:ded:, а по геометрии может я и путаю:009:
учебник Атанасяна.
Вот вернется моя с отдыха через неделю, тогда и спрошу;)

Что-то у вас с геометрией в школе. как бы это сформулировать. Должны были проходить. В третьей четверти.

учебник Атанасяна, но деть клянется, что не проходили. Может опять наш класс не успел «типа». или не созрел:015:

В современных учебниках по алгебре, 2009-2010 гг. (в Алимове, например), тригонометрия вынесена вообще в 10 класс. Ну это для тех, у кого алгебра 3 часа в неделю, конечно. И для них это не очень удивительно. В ГИА никакой тригонометрии нету вроде как.

а теорему Пифагора проходили?
она там соседствует с синусами-косинусами
и времени и «созревания» на них много не надо 🙂 намекните учителю, если что 🙂

Да, теорему Пифагора прошли хоть? Или они там курс 7 класса два года изучали?

Да, теорему Пифагора прошли хоть? Или они там курс 7 класса два года изучали?

теорему Пифагора прямо в конце года перед каникулами проходили:)

Источник

Один из подходов к изучению тригонометрии в 10-м классе

Разделы: Математика

Еще в 1905 г. русские читатели могли прочесть в книге Уильяма Джеймса “Психология” его рассуждения о том, “почему зубрение представляет такой дурной способ учения?”

“Знания, приобретенные путем простого зубрения, почти неизбежно забываются совершенно бесследно. Наоборот, умственный материал, набираемый памятью постепенно, день за днем, в связи с различными контекстами, связанный ассоциативно с другими внешними событиями и неоднократно подвергший обсуждению, образует такую систему, вступает в такую связь с остальными сторонами нашего интеллекта, легко возобновляется в памяти массою внешних поводов, что остается надолго прочным приобретением”.

С тех пор прошло более 100 лет, а слова эти поразительно остаются злободневными. В этом каждодневно убеждаешься, занимаясь со школьниками. Массовые пробелы в знаниях настолько велики, что можно утверждать: школьный курс математики в дидактическом и психологическом отношениях – не система, а некое устройство, поощряющее кратковременную память и нисколько не заботиться о памяти долговременной.

Знать школьный курс математики – значит владеть материалом каждого из направлений математики, быть в состоянии актуализировать любое из них в любое время. Чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться каждому из них, что порой не всегда возможно из-за сильной загруженности на уроке.

Есть другой путь долговременного запоминания фактов и формул – это опорные сигналы.

Тригонометрия – один из больших разделов школьной математики, изучаемой в курсе геометрии 8, 9 классов и в курсе алгебры 9 класса, алгебры и начал анализа в 10 классе.

Самый большой объем изучаемого материала по тригонометрии приходится на долю 10 класса. Большую часть этого материала из тригонометрии можно изучить и запомнить на тригонометрическом круге (окружность единичного радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат). Приложение1.ppt

Рассмотрим изучение этих понятий на тригонометрическом круге.

1) Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

После введения понятия тригонометрического круга (окружность единичного радиуса с центром в начале координат), начального радиуса (радиус окружности по направлению оси Ох), угла поворота, учащиеся самостоятельно получают определения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге, используя определения из курса геометрии, то есть, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1.

Косинусом угла называется абсцисса точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

Синусом угла называется ордината точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

2) Радианное измерение углов на тригонометрическом круге.

После введения радианной меры угла (1 радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности), учащиеся делают вывод, что радианное измерение угла – это числовое значение угла поворота на окружности, равное длине соответствующей дуги при повороте начального радиуса на заданный угол. .

Тригонометрический круг разделен на 12 равных частей диаметрами окружности. Зная, что угол радианам, можно определить радианное измерение для углов кратных .

и т.д.

А радианные измерения углов, кратных, получаются аналогично:

3) Область определения и область значений тригонометрических функций.

Будет ли соответствие углов поворота и значений координат точки на окружности функцией?

Каждому углу поворота соответствует единственная точка на окружности, значит данное соответствие – функция.

Получаем функции

Введем понятия линий тангенсов и котангенсов на тригонометрическом круге.

1) Пусть Введем вспомогательную прямую, параллельную оси Оу, на которой определяются тангенсы для любого числового аргумента.

2) Аналогично получаем линию котангенсов. Пусть у=1, тогда . Значит, значения котангенса определяются на прямой, параллельной оси Ох.

На тригонометрическом круге без труда можно определить область определения и область значений тригонометрических функций:

4) Значения тригонометрических функций на тригонометрическом круге.

Значит по определению синуса, косинуса, тангенса, котангенса можно определить значения для углов кратных или радианам. Значения синуса определяются по оси Оу, косинуса по оси Ох, а значения тангенса и котангенса можно определить по дополнительным осям, параллельным осям Оу и Ох соответственно.

Табличные значения синуса и косинуса расположены на соответствующих осях следующим образом:

5) Периодичность тригонометрических функций.

На тригонометрическом круге видно, что значения синуса, косинуса повторяются через каждые радиана, а тангенса и котангенса – через радиан.

6)Четность и нечетность тригонометрических функций.

Это свойство можно получить, сравнивая значения положительных и им противоположных углов поворота тригонометрических функций. Получаем, что

Значит, косинус – четная функция, все остальные функции – нечетные.

7) Возрастание и убывание тригонометрических функций.

По тригонометрическому кругу видно, что функция синус возрастает и убывает

Аналогично рассуждая, получаем промежутки возрастания и убывания функций косинуса, тангенса и котангенса.

8) Формулы приведения.

За угол берем меньшее значение угла на тригонометрическом круге. Все формулы получаются в сравнении значений тригонометрических функций на катетах выделенных прямоугольных треугольников.

Алгоритм применения формул приведения:

1) Определить знак функции при повороте на заданный угол.

При повороте на угол функция сохраняется, при повороте на угол — целое, нечетное число, получается кофункция (

9) Значения обратных тригонометрических функций.

Введем обратные функции для тригонометрических функций, пользуясь определением функции.

Алгоритм нахождения значений обратных тригонометрических функций:

1) нахождение на соответствующей оси значения аргумента обратной тригонометрической функции;

2) нахождение угла поворота начального радиуса с учетом области значений обратной тригонометрической функции.

Например:

10) Решение простейших уравнений на тригонометрическом круге.

Чтобы решить уравнение вида , найдем точки на окружности, ординаты которых равны и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

Для уравнения , найдем точки на окружности, абсциссы которых равны и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

Аналогично для уравнений вида Значения определяются на линиях тангенсов и котангенсов и записываются соответствующие углы поворота.

11) Решение неравенств.

Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с ординатой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с абсциссой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точку на линии тангенсов с координатой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом области определения и периода функции.

Аналогично для неравенств с котангенсом.

Необходимо практиковать чтение промежутков на тригонометрическом круге, тогда решения неравенств определяются безошибочно.

12) Основные формулы тригонометрии.

1) Основные тригонометрические тождества.

Очевидны выводы формул которые получаются в прямоугольном треугольнике на тригонометрическом круге.

2) Формулы сложения выводятся с использованием скалярного произведения векторов начального и “конечного” радиусов.

Другие формулы сложения получаются с использованием предыдущей, формул приведения и свойств четности и нечетности тригонометрических функций.

Почти все формулы тригонометрии являются следствиями этих основных формул.

Все понятия и формулы тригонометрии получают сами ученики под четким руководством учителя с помощью тригонометрического круга. В дальнейшем этот “круг” будет служить для них опорным сигналом или внешним фактором для воспроизведения в памяти понятий и формул тригонометрии.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;

3) Знаки тригонометрического выражения.

Число (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти

у точек второй четверти

у точек третьей четверти

у точек четвёртой четверти

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом углаявляется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Косинусом углаявляется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Если угол то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь , значит

Если угол , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь , , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь , , значит ,

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол .

во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ:

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен .

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ:

Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Определить знаки .

Решение: Знаем, что, а . Значит, . Точка во второй четверти.

Ответ:

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Определить знак тангенса угла

Решение , угол второй четверти

Определить знак тангенса угла .

Решение: Угол в третьей четверти, тангенс положительный.

Ответ:

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

Источник