камень бросают со скоростью v под углом фи к горизонту через какое время
Камень бросают со скоростью v под углом фи к горизонту через какое время
Рассмотрение задач описания движения традиционно начинается с кинематики. Так называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Начнём с равномерного движения.
Корабль `A` и торпеда `B` в некоторый момент времени находятся на расстоянии `l = 1 sf»км»` друг от друга (см. рис. 1). Скорость корабля `v_1 = 10 sf»м/с»`, угол `alpha = 60^@`. Скорость торпеды `v_2 = 20 sf»м/с»`. При каком угле `beta` торпеда попадёт в цель?
По условию цель и торпеда в лабораторной системе отсчёта движутся равномерно, их радиусы векторы зависят от времени по закону
`vecr_1 (t) = vecr_(01) + vecv_1 t`,
`vecr_2 (t) = vecr_(02) + vecv_2 t`
Перейдём в систему отсчёта, связанную с кораблём (точка `A`) и движущуюся поступательно относительно лаборатории. В этой системе положение торпеды (точки `B`) в любой момент времени определяется вектором
Отсюда `sin beta = (v_1)/(v_2) sin alpha = (10)/(20) sin 60^@ = (sqrt3)/4
Обратимся к равнопеременному движению. Как известно, в этом случае зависимости скорости и перемещения от времени имеют вид
`vec v (t) = vecv_0 + vec a t`, `vec r (t) = vecr_0 + vecv_0 t + (vec a t^2)/2`.
Пушка расположена у основания склона, образующего с горизонтом угол `alpha = 30^@`. Под каким углом `beta` к склону следует произвести выстрел с начальной скоростью `v_0 = 100 sf»м/с»` так, чтобы дальность полёта снаряда вдоль склона была наибольшей? Найдите эту максимальную дальность `S_max`.
Здесь и далее в Задании ускорение свободного падения `g = 10 sf»м/с»^2`. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Перемещение снаряда за время `T` полёта равно
`vec r (T) = vecv_0 T + (vec g T^2)/2`,
(считаем `vecr_0 = vec 0`). Изобразим эти векторы на рисунке 2.
Проекции векторов `vecv_0 T` и `(vec g T^2)/2` на направление нормали к склону равны по величине
`v_0 T sin beta = (gT^2)/2 cos alpha`.
С учётом выражения для времени полёта последнее соотношение перепишем в виде
Отсюда следует, что наибольшей дальности соответствует такой угол `beta`, при котором множитель в скобках в последнем соотношении принимает наибольшее значение, т. е.
Отсюда следует, что выстрел следует производить по биссектрисе угла между склоном и вертикалью. В этом случае дальность полёта наибольшая и равна
Камень брошен со скоростью `v_0 = 20 sf»м/с»` под углом `alpha = 60^@` к горизонту. Найдите радиус `R` кривизны траектории в окрестности точки старта. Через какое время `tau` после старта вектор скорости повернётся на `varphi = 1^@`?
Известно, что движение точки по окружности с постоянной по величине скоростью есть движение ускоренное, при этом вектор ускорения в любой момент времени направлен к центру окружности, а его величина постоянна и определяется, например, по одной из формул
`a_n = (v^2)/R = v omega = ((2pi)/(T))^2 R`.
Естественное обобщение этого результата для движения по произвольной криволинейной траектории состоит в следующем: неравномерное движении по произвольной криволинейной траектории может быть представлено как последовательность перемещений по элементарным дужкам окружностей, радиус каждой из которых можно вычислять по формуле `R = (v^2)/(a_n)`. Эту величину называют радиусом кривизны траектории в малой окрестности рассматриваемой точки.
Для решения задачи воспользуемся соотношениями `R = (v^2)/(a_n)`, `omega = (a_n)/v`.
В малой окрестности точки старта `v = v_0`, нормальное ускорение `a_n` есть проекция ускорения свободного падения `vec g` на нормаль к траектории (рис. 3)
Из преведённых соотношений находим радиус кривизны траектории в малой окрестности точки старта
`R = (v_0^2)/(g cos alpha) = (20^2)/(10 * 0,5) = 80 sf»м»`,
и угловую скорость, с которой в этой окрестности вращается вектор скорости,
`omega = (g cos alpha)/(v_0)`.
Тогда время поворота вектора скорости на угол `varphi = pi/(180)
0,017` рад будет равно
`tau = varphi/omega = (varphi * v_0)/(g * cos alpha) = (0,017 * 20)/(10 * 0,5)
Камень бросают со скоростью v под углом фи к горизонту через какое время
311. С вертолета, горизонтально летящего на высоте H = 125 м со скоростью v = 90 км/ч, сбросили груз. На какой высоте его скорость будет направлена под углом 45 о к горизонту? решение
312. В мишень с расстояния S = 50 м сделано два выстрела в горизонтальном направлении при одинаковой наводке винтовки. Скорость первой пули v 1 = 320 м/с, второй v 2 = 350 м/с. Определить расстояние между пробоинами. решение
314. Деревянный шар, скатываясь с лестницы, имел горизонтальную начальную скорость v o = 1,7 м/с. Высота h и ширина b каждой ступеньки равны по 20 см. О какую по счету ступеньку шар ударится впервые? решение
316. Тело бросили со скоростью v o под углом a к горизонту. Записать уравнение движения тела в декартовых координатах. Убедится, что траектория движения тела представляет собой параболу. решение
317. Тело бросили со скоростью v o под углом a к горизонту. Найти: 1) вертикальную и горизонтальную составляющую скорости вектора скорости в зависимости от времени; 2) время полета; 3) зависимость от времени угла j между вектором скорости и горизонтом; 4) максимальную высоту подъема; 5) дальность полета. решение
318. Начальная скорость брошенного камня v o = 10 м/с, а спустя t = 0,5 c скорость камня v = 7 м/с. На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень? решение
320. Вертикальная стенка высотой H находится на расстоянии S от футболиста. При какой минимальной скорости он может перебить мяч через стенку. Под каким углом при этом должна быть направлена начальная скорость? Мяч принять за материальную точку. решение
Смотрите новый сайт В. Грабцевича по физике, а также шутки про школу.
—>
 | ВЕКТОРНЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ |
Многие задачи на баллистическое движение решаются быстро и просто, если применить векторный подход к их решению. Для этого формулы записываются в векторном виде, изображаются треугольники векторного сложения скоростей и перемещений:
При построении векторных треугольников скоростей и перемещений учитываем, что вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз, а следовательно вектора gt и gt 2 /2 также направлены вертикально вниз.
С поверхности земли под углом a к горизонту выстрелила пушка. Через время t она поразила наземную мишень. Определите дальность полета снаряда. Пушка и ее цель неподвижны и расположены на одном горизонтальном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь. Размеры пушки, ее снаряда и цели не учитывать.
Построим треугольник перемещений:
Мячик бросили со скоростью v0 под углом к горизонту. В полете он находился время t. Чему равна дальность полета мячика, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Построим треугольник перемещений:
В данном прямоугольном треугольнике известны катет и гипотенуза, необходимо найти второй катет. Используем теорему Пифагора:
Изобразим треугольник скоростей:
С обрыва под углом a = 30° к горизонту бросили камушек со скоростью v0 = 10 м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость была направлена под углом 60° к горизонту? Сопротивление воздуха не учитывать.
Построим треугольник скоростей:
Камень бросили со скоростью v0 под углом a к горизонту. Чему равна дальность его полета, если он летел до падения время t? Сопротивление воздуха не учитывать.
Рассмотрим треугольник перемещений:
Камушек бросили со скоростью v0 под углом a к горизонту. Через какое время угол между вектором скорости и горизонтом составит угол b? Сопротивлением воздуха пренебречь.
В задаче возможны два решения: вектор скорости направлен вверх или направлен вниз. В этом случае будут отличаться углы между направлениями скоростей. Изобразим вектор скоростей для случая, когда вектор скорости направлен вниз:
Задачи на свободное падение тел: примеры решения задач по кинематике
Вторник, а это значит, что сегодня мы снова решаем задачи. На это раз, на тему «свободное падение тел».
Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте актуальную рассылку каждый день!
Задачи на свободное падение тел с решением
Задача №1. Нахождение скорости при свободном падении
Условие
Тело падает с высоты 20 метров. Какую скорость оно разовьет перед столкновением с Землей?
Решение
Высота нам известна по условию. Для решения применим формулу для скорости тела в момент падения и вычислим:
Ответ: примерно 20 метров в секунду.
Задача №2. Нахождение высоты и времени движения тела, брошенного вертикально.
Условие
Индеец выпускает стрелу из лука вертикально вверх с начальной скоростью 25 метров в секунду. За какое время стрела окажется в наивысшей точке и какой максимальной высоты она достигнет стрела?
Решение
Сначала запишем формулу из кинематики для скорости. Как известно, в наивысшей точке траектории скорость стрелы равна нулю:
Теперь запишем закон движения для вертикальной оси, направленной вертикально вверх.
Ответ: 2,5 секунды, 46 метров.
Задача №3. Нахождение времени движения тела, брошенного вертикально вверх
Условие
Мячик бросили вертикально вверх с начальной скоростью 30 метров в секунду. Через какое время мяч окажется на высоте 25 метров?
Решение
Запишем уравнение для движения мячика:
Мы получили квадратное уравнение. Упростим его и найдем корни:
Как видим, уравнение имеет два решения. Первый раз мячик побывал на высоте через 1 секунду (когда поднимался), а второй раз через 5 секунд (когда падал обратно).
Ответ: 1с, 5с.
Задача №4. Нахождение высоты при движении тела под углом к горизонту
Условие
Камень, брошенный с крыши дома под углом альфа к горизонту, через время t1=0,5c достиг максимальной высоты, а еще через время t2=2,5c упал на землю. Определите высоту Н дома. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Решение
Камень брошен со скоростью v0 под углом α к горизонту с дома высотой Н. Эту скорость можно разложить на две составляющие: v0X (горизонтальная) и v0Y (вертикальная). В горизонтальном направлении на камень не действует никаких сил (сопротивлением воздуха пренебрегаем), поэтому горизонтальная составляющая скорости неизменна на протяжении всего времени полета камня (равномерное движение). Максимальная точка траектории камня над уровнем земли (исходя из кинематических соотношений):
Здесь t1 – время подъема камня с высоты Н на высоту h; g – ускорение свободного падения.
Вертикальную составляющую скорости можно вычислить исходя из геометрических соображений:
Подставив выражение для скорости в первое уравнение, получим:
Также высоту h можно выразить через время t2 падения камня с высоты h на землю (исходя из кинематических соотношений и учитывая, что с вертикальная составляющая скорости в наивысшей точке равна нулю):
Для высоты дома можно записать:
Так как вертикальная составляющая скорости камня в максимальной точке траектории равна нулю:
Подставляем в формулу для высоты H и вычисляем:
Ответ: H = 30 м.
Задача №5. Нахождение закона движения тела
Условие
Найти закон движения тела против силы тяжести, при начальной скорости V0. И на какую максимальную высоту поднимется тело? Тело бросили под углом 90 градусов.
Решение
Тело брошено под углом α=90° к горизонту. Другими словами, тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0. Направим координатную ось х вертикально вверх, так ее направление совпадает с вектором начальной скорости. F – сила тяжести, направленная вниз. В начальный момент тело находится в точке А.
В задаче нужно найти закон движения тела, то есть зависимость координаты тела от времени. В общем случае этот закон задается кинематическим соотношением:
где х0 – начальная координата тела; a – ускорение.
Так как мы поместили начало координат в точку А, х0=0. Тело движется с ускорением свободного падения g, при этом сила тяжести направлена против начальной скорости, поэтому в проекции на вертикальную ось a=-g. Таким образом, искомый закон движения перепишется в виде:
Далее будем использовать еще одно общее кинематическое соотношение:
где V – конечная скорость.
Максимальная высота подъема тела указана на рисунке точной B, в этот момент конечная скорость V равна нулю, а координата х равна максимальной высоте Н подъема тела. Отсюда можно найти выражение для этой величины:
Полезные формулы для решения задач на свободное падение
Свободное падение описывается формулами кинематики. Мы не будем приводить их вывод, но запишем самые полезные.
Формула для максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх c некоторой начальной скоростью:
Кстати, как выводится именно эта формула можно посмотреть в последней задаче.
Формула для времени подъема и падения тела, брошенного вертикально вверх:
Скорость тела в момент падения с высоты h:
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Вопросы с ответами на свободное падение тел
Вопрос 1. Как направлен вектор ускорения свободного падения?
Ответ: можно просто сказать, что ускорение g направлено вниз. На самом деле, если говорить точнее, ускорение свободного падения направлено к центру Земли.
Вопрос 2. От чего зависит ускорение свободного падения?
Ответ: на Земле ускорение свободного падения зависит от географической широты, а также от высоты h подъема тела над поверхностью. На других планетах эта величина зависит от массы M и радиус R небесного тела. Общая формула для ускорения свободного падения:
Вопрос 3. Тело бросают вертикально вверх. Как можно охарактеризовать это движение?
Ответ: В этом случае тело движется равноускоренно. Причем время подъема и время падения тела с максимальной высоты равны.
Вопрос 4. А если тело бросают не вверх, а горизонтально или под углом к горизонту. Какое это движение?
Ответ: можно сказать, что это тоже свободное падение. В данном случае движение нужно рассматривать относительно двух осей: вертикальной и горизонтальной. Относительно горизонтальной оси тело движется равномерно, а относительно вертикальной – равноускоренно с ускорением g.
Баллистика – наука, изучающая особенности и законы движения тел, брошенных под углом к горизонту.
Вопрос 5. Что значит «свободное» падение.
Ответ: в данном контексте понимается, что тело при падении свободно от сопротивления воздуха.
Свободное падение тел: определения, примеры
Свободное падение – равноускоренное движение, происходящее под действием силы тяжести.
Первые попытки систематизированно и количественно описать свободное падение тел относятся к средневековью. Правда, тогда было широко распространено заблуждение, что тела разной массы падают с разной скоростью. На самом деле, в этом есть доля правды, ведь в реальном мире на скорость падения сильно влияет сопротивление воздуха.
Однако, если им можно пренебречь, то скорость падающих тел разной массы будет одинакова. Кстати, скорость при свободном падении возрастает пропорционально времени падения.
Ускорение свободно падающих тел не зависит от их массы.
Примеры свободного падения тел:
При свободном падении тела возникает состояние невесомости. Например, в таком же состоянии находятся предметы на космической станции, движущейся по орбите вокруг Земли. Можно сказать, что станция медленно, очень медленно падает на планету.
Конечно, свободное падение возможно не только не Земле, но и вблизи любого тела, обладающего достаточной массой. На других комических телах падения также будет равноускоренным, но величина ускорения свободного падения будет отличаться от земной. Кстати, раньше у нас уже выходил материал про гравитацию.
При решении задач ускорение g принято считать равным 9,81 м/с^2. В реальности его величина варьируется от 9,832 (на полюсах) до 9,78 (на экваторе). Такая разница обусловлена вращением Земли вокруг своей оси.
Нужна помощь в решении задач по физике? Обращайтесь в профессиональный студенческий сервис в любое время.
Камень бросают со скоростью v под углом фи к горизонту через какое время
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси «y» будет равна нулю
Вынесем время за скобки :
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси «y» будет равна нулю
Вынесем время за скобки :
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Если тело брошено с поверхности земли то начальная координата \(y_0=0\)
Если тело брошено под углом к горизонту, то в конечный момент времени координата тела по оси «y» будет равна нулю
Вынесем время за скобки :
По этой формуле мы можем находить время полета тела, брошенного под углом к горизонту
Далее запишем формулу дальности для тела, брошенного под углом к горизонту:
\(l=v_<0>cos \; (\alpha)\cdot t \)
и вставим в нее формулу для времени полета:
\(l=v_<0>cos \; (\alpha)\cdot \dfrac<2v_<0>sin \; \alpha>
\(l= \dfrac<2v_<0>^2 sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha >
\(l= \dfrac
\( 2 \cdot sin \; \alpha \cdot cos \; \alpha = sin \; (2\alpha) \)
По этой формуле мы можем находить дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту