какую сумму нужно вложить в банк чтобы через 3 года на счету было 59000
Онлайн-калькулятор вкладов – введите параметры и получите мгновенный расчет дохода
Расчет доходности вклада
Самые выгодные вклады банков
Специальные предложения:
УБРиР
Вклад «Удачный» до 7.5% годовых с учетом капитализации
Заполните форму заявки на вклад на специальных условиях.
Альфа-банк
Дебетовая Альфа-Карта с преимуществами + накопительный счет с ежемесячной выплатой процентов:
Экспобанк
Вклад «Сезон роста» до 7,61% годовых в рублях, если открыть вклад онлайн!
Как открыть вклад онлайн?
Банк Хоум Кредит
Дебетовые карты могут быть выгоднее, чем вклады:
Вклады в Микрофинансовые компании:
Онлайн-калькулятор банковских вкладов
Перед тем, как оформить в банке договор на депозит, необходимо сравнить несколько вкладов. Но для точной оценки выгоды банковских предложений учесть только процентную ставку недостаточно. Онлайн-калькулятор доходности вкладов позволяет рассчитать размер начисленных процентов с учетом капитализации и дополнительных взносов. Достаточно выбрать или ввести нужные параметры депозита и будет мгновенно сделан расчет. Требуется указать следующие условия:
Каждый из этих показателей влияет на результаты вычислений, поэтому рекомендуем сравнивать несколько депозитных программ в разных банках.
Другие особенности расчета
Для онлайн-расчета процентов по депозиту калькулятор использует формулы, действующие во многих банках России. Однако итоговый результат может отличаться от того, который предоставит сотрудник банка перед заключением договора.
Также нужно помнить, что с января 2021 года доходность вкладов более 1 миллиона рублей будет облагаться дополнительным налогом. Его можно посчитать с помощью калькулятора налогов на вклад.
Калькулятор доходности вкладов
Рассчитать онлайн на калькуляторе вкладов процент по депозиту в банке по условиям на 31.10.2021
Предложения месяца
Калькулятор вкладов
Калькулятор вкладов на Банки.ру — это сервис подбора и оформления вкладов и накопительных счетов для тех, кто ищет возможность вложить деньги под высокий процент. Здесь можно рассчитать доходность вклада и открыть депозит онлайн. У нас самая полная база актуальных предложений с повышенной ставкой на 31.10.2021 и специальные условия от банков, только для пользователей Банки.ру.
Основная задача вкладчика – разместить свои сбережения на депозит, который принесет максимальный доход. Чтобы выяснить итоговую сумму вклада по окончании его срока и произвести расчет по доходу, порой бывает недостаточно знать размер годовой процентной ставки. Нужно воспользоваться калькулятором процентов по вкладам, ведь основные факторы, которые следует учитывать при расчете дохода, – это наличие капитализации и периодичность внесения дополнительных взносов в выбранный вами вклад. Кроме того, открывая вклад под высокую ставку, следует учитывать, что доходы по вкладам в РФ облагаются налогом в размере 35%, если процентная ставка по вкладу в рублях превышает ключевую ставку Банка России на 5 процентных пунктов. По валютным вкладам налог с дохода вычитается, если процентная ставка составляет более 9%.
Калькулятор доходности вкладов на портале Банки.ру поможет произвести расчет суммы вклада с процентами. В депозитном калькуляторе указываете дату, когда вы планируете разместить сбережения в банке и срок привлечения вклада, который вы можете задать произвольно с точностью до одного дня. Депозитный калькулятор безошибочно определит день, когда вы сможете забрать свои сбережения вместе с начисленными процентами.
В калькуляторе депозитов можно сравнить сумму дохода в зависимости от того, будут проценты добавляться к сумме вклада либо выплачиваться на отдельный счет. Калькулятор вкладов с капитализацией покажет, как происходит расчет процентов и увеличивается сумма вашего вклада, ведь при выборе такого способа начисления проценты присоединяются к сумме вклада, тем самым увеличивая ее.
В калькуляторе вклада с пополнением необходимо будет указать периодичность, с которой вы планируете вносить дополнительные взносы, и сумму пополнений.
Калькулятор вкладов онлайн рассчитает для вас сумму дохода за вычетом налогов и покажет итоговую сумму вклада с начисленными процентами, в том числе с довложениями. Прежде чем открывать вклад в банке, с помощью калькулятора вкладов вы сможете вычислить доходность выбранного вами вклада с учетом всех его параметров.
Универсальный калькулятор вкладов на портале Банки.ру поможет нашим пользователям быстро произвести расчет вкладов и точно посчитать ожидаемый доход от своих сбережений.
Калькулятор сложного процента на Банки.ру
10 способов сохранить деньги в 2021 году
По данным Минэкономразвития, в мае 2020 года инфляция в России составила около 3 %, именно настолько подешевели наши сбережения на год. Это средние данные — если копить на квартиру, то инфляция составит уже 4,5 %, предупреждает Росстат. Машины подорожали еще больше — на некоторые модели из-за скачка валюты цены подняли на 10-15 %.
Все эти цифры означают лишь одно: если мы будем просто складывать накопления под подушку, то в любом случае станем беднее — минимум на уровень инфляции.
Рассказываем, какие есть варианты избежать этого, какие риски в каждом из способов и что лучше выбрать в кризисные времена.
Подготовьтесь к сохранению денег
Создайте финансовую подушку
Это условный старт для любых стратегий. Когда у нас есть запас денег на два-три месяца жизни, это помогает спокойнее принимать решения. Хранить такие средства стоит или наличными, или на вкладе в надежном банке, откуда вы всегда их сможете снять.
Владелец ГК «Залог 24», частный инвестор Ян Марчинский не советует инвестировать тем, у кого нет финансовой подушки.
С большой долей вероятности такой человек продаст акции по нужде и низкой цене. Надо понимать, что инвестиции — это не быстрое и легкое обогащение, а долгий процесс, требующий усердия и дисциплины.
Разделите подушку безопасности на три валюты
Разделите на рубли, доллары и евро. В дальнейшем старайтесь держаться этого же принципа. Это поможет сохранить основной капитал, ведь если какая-то валюта резко упадет, то другая скорее всего вырастет.
О пропорциях «корзины» накоплений разные эксперты высказывают свое мнение. Например, автор книги «Инвестировать — просто» Владимир Савенюк рекомендует в рублях хранить пятую часть капитала, а остальные деньги разделить ровно между долларами и евро. Если же считаете, что рубль может резко «отыграть» вверх, поменяйте пропорции.
Погасите все кредиты
Займы хорошо работают только в одной ситуации — когда доход от них превышает выплаты процентов. Например, если вы взяли в одном банке кредит под 5 % годовых и положили эти деньги в другой банк под 10 % годовых, без рисков и со страховкой. Тогда это грамотное финансовое решение. Как правило, таких ситуаций в мире небольших денег практически нет.
Если же кредит нужно выплачивать, а кредитные деньги ничего не зарабатывают, его нужно закрывать как можно скорее.
Банковский вклад
Это классический инструмент сохранения денег с минимальной доходностью.
Процент, который предлагает банк, зависит от ключевой ставки Центробанка — например, сейчас ее понизили до 4,5 %, значит, в ближайшее время банки также снизят предложения по вкладам. Вклад помогает получить прибыль в пределах инфляции, то есть как бы остаться на том же уровне. Если же вы планировали заработать, то скорее всего через вклад сделать это будет сложно.
Вклад называют инструментом с минимальным риском. Это так, но только частично. Если банк разорится, вкладчик попадет под программу страхования (Федеральный закон от 23.12.2003 № 177-ФЗ) — государство вернет максимум 1,4 млн руб. по общим основаниям. Остальные деньги будут потеряны. С 2004 году агентство по страхованию вкладов зафиксировало более 500 случаев, когда вкладчикам нужно было возвращать деньги.
C 1 октября 2020 года в законе о страховании вкладов произошли некоторые изменения. Размер страхового возмещения вкладчику-физлицу увеличился до 10 млн руб. (включая возмещение в размере 1,4 млн руб., выплачиваемое по общим основаниям), но при условии наличия на его счетах временно высоких остатков, которые образовались в связи с особыми жизненными обстоятельствами. К таким обстоятельствам относятся:
Чтобы получить страховое возмещение в повышенном размере, нужно предоставить документы, подтверждающие поступление средств в безналичной форме в связи с особыми обстоятельствами.
С 1 января 2021 года вступил в силу закон, который обязывает вкладчиков платить налог с суммы процентов по всем вкладам, но только с той ее части, которая превышает доход с 1 млн руб. Фактически нововведение коснется процентов, которые будут выплачены начиная с 1 января 2021 года.
Если вы решили использовать для сохранения банковский вклад, то придерживайтесь этих советов:
Облигации
Этот вид сохранения денег похож на вклады — тоже достаточно простой, с фиксированной доходностью. Смысл в том, что бизнес или государство с помощью облигаций берет у вас деньги в долг. Условия оговариваются заранее — процент дохода и дата возврата номинала или основного тела долга.
Продать облигации можно и раньше оговоренного срока, но по рыночной цене, которая меняется. То есть с помощью облигаций можно не просто сохранять деньги, но и отслеживать актуальные цены и пытаться выиграть на разнице покупок и продаж.
В России инвестировать в облигации можно от 1 000 руб. Но лучше использовать минимум 10 000 для покупки 10 разных облигаций — тогда у вас будет так называемый устойчивый портфель.
В устойчивом портфеле удельный вес каждой инвестиции составляет минимум 10 %. В каких-то непредвиденных и непрогнозируемых ситуациях в отдельной бумаге пострадает только десятая часть портфеля. Это не очень критично, такой убыток можно восстановить за один год.
Кирилл Вихлянцев
Управляющий партнер KYC и Vax Capital
В основном доходы по облигациям немного выше, чем по вкладом, но есть предложения и под десятки и даже сотни процентов. В таких случаях, объясняет Вихлянцев, рынок оценивает риск дефолта данной бумаги высоко — можно быстро приумножить свой капитал, а можно потерять вообще все, если компания разорится.
Облигации — это среднесрочный и долгосрочный финансовый инструмент. Рассматривайте их как вариант размещения минимум на год, а лучше на срок от трех лет. Если деньги вам понадобятся через полгода-год, то вклад будет надежнее.
Ведущий аналитик QBF Олег Богданов считает, что больше надежности у облигаций федерального займа, выпускаемых Минфином.
Это государственные ценные бумаги, возврат по которым обеспечен правительством. Доход гособлигаций, как правило, на несколько процентных пунктов выше ставки вклада. Плюс можно увеличить прибыль с помощью налоговых льгот — такие облигации не облагаются НДФЛ и еще можно получить налоговый вычет до 52 000 руб. при вложениях не менее 400 000 в год.
Облигации считаются устойчивым инструментом, но не гарантируют абсолютную надежность. Как и в любом другом инвестировании, вы можете потерять все.
Акции
Популярнейший и основной вид инвестиций — вы покупаете акцию и буквально становитесь одним из владельцев компании. Прибыль получают двумя способами.
За счет дивидендов
Раз в год компания распределяет часть прибыли между владельцами. Рассчитывать на устойчивые дивиденды стоит, покупая акции известных и финансово стабильных корпораций. Это могут быть нефтяные или газовые компании, банки, организации, работающие в сфере ритейла. Сколько денег будет распределено между акционерами, решают на общем собрании основных владельцев.
Есть также бездивидендные акции. Покупая их, инвестор стремится заработать на росте стоимости бумаг, а не на процентах. Компании, которые выпускают такие акции, относительно молодые и вкладывают всю прибыль в развитие вместо того, чтобы делиться ею с акционерами. Такая стратегия оправдана: она позволяет хорошему бизнесу быстро расти. Как следствие, растет и стоимость его акций. Например, акции Facebook с момента выхода компании на биржу подорожали на 658 %, при этом компания еще ни разу не платила дивиденды.
Николай Кленов
Финансовый аналитик инвестиционной компании Raison Asset Management
За счет торговли акциями
Здесь работает принцип «купи дешевле, продай дороже». Стоимость компаний, а значит и акций, постоянно меняется. На это влияет множество факторов — от новостей в СМИ до общего положения индексов на рынке.
Торговля акциями считается инвестированием с высоким риском — никто не может гарантировать вам доход. Чтобы уменьшить риски, нужно заниматься диверсификацией активов — покупать акции не одной, а нескольких компаний сразу. Плюс следить за тем, насколько надежны компании, насколько быстро они растут.
В портфеле должны присутствовать акции разных компаний в разных секторах экономики — например, финансовом, технологическом, нефтегазовом. Разбивка должна быть и по странам эмитентов. Вкладываться только в российские акции рискованно, учитывая нестабильность курса рубля. К тому же на российском фондовом рынке почти не представлены компании технологического, фармацевтического и других инновационных секторов, что обедняет выбор акций. Поэтому российским инвесторам стоит обращать внимание также на акции американских и европейских эмитентов.
Николай Кленов
Финансовый аналитик инвестиционной компании Raison Asset Management
В акциях работает главное правило экономного инвестора: использовать стоит те средства, потеря которых для вас будет не критична. При этом, даже если вы планируете «играть» на изменениях курсов, часть денег стоит вкладывать в долгосрочные акции.
Частный инвестор и владелец ГК «Залог 24» Ян Марчинский рекомендует 30 % всех денег перевести в акции, а остальные — в другие инструменты.
Инвестировать в акции надо на долгий срок — от пяти лет и более. Чтобы локальные просадки, например, как в 2015 году из-за санкций, не создавали убытка. В течение года, может быть, нескольких лет, акции могут быть в минусе, но на длительном периоде рынок и цена акций растет.
Прежде чем покупать акции, стоит проверить историю компании и отрасль, в которой она работает. Конкретный бизнес может быть с идеальной бизнес-моделью, но акции могут обвалиться из-за кризиса во всей сфере.
Важно проанализировать финансовую отчетность компании, рынок и новостной фон. Даже один твит президента США Дональда Трампа может «уронить» акции компании или целой отрасли, предупреждает Николай Кленов. Правда, потом котировки обычно корректируются. Торговые войны, санкции, новые законы и, конечно, пандемии могут драматически изменить движение рынка.
Онлайн-сервис для самостоятельных предпринимателей, которые не разбираются в бухгалтерии. Начинающим ИП — год в подарок!
Фонды
Чтобы самостоятельно инвестировать в акции, нужно изучать много данных, выбирать, что купить. Или использовать коллективные инвестиции через специальные фонды. Условно, это работает так: много людей сбрасывается, а доверенная компания собирает портфель из акций и выплачивает проценты с доходных сделок.
Это удобно — можно вкладывать в дорогие акции, не нужно думать, что купить. Но риски растут — компания может сделать неправильный выбор, и вы все потеряете. Сейчас среди таких инвестиций распространены фонды. Есть два популярных.
ETF-фонды
Нужен брокерский счет или индивидуальный инвестиционный счет. Чтобы купить что-то, нужно подать заявку брокеру. Придется платить комиссию — до 0,95 % от сделки в российских фондах.
Инструмент считается достаточно надежным, фонды контролирует Центробанк. Так как счета и акции в таких фондах в основном зарубежные, то вкладывать в них запрещено нескольким категориям граждан, в основном госслужащим, депутатам и членам их семей.
С помощью фондов можно покупать акции дешевле, чем их предлагают на бирже.
Это одно из преимуществ ETF-фондов: допустим, акции быстрорастущей компании Amazon имеют высокую стоимость на бирже, тогда как ETF-фонды, включающие их, торгуются по гораздо более демократичным ценам.
Владимир Масленников
Вице-президент QBF
Паевые инвестиционные фонды ( ПИФ)
Вы передаете деньги управляющей компании, и доход зависит от качества сделок. В отличии от ETF, начать инвестировать в ПИФ проще, не нужен даже брокерский счет. Управляющая компания занимается так называемым «активным управлением», то есть наблюдает за динамикой цен и старается как бы «обогнать» её, предугадать развитие ситуации и либо купить на падении, либо продать на максимальной точке роста. Еще в ПИФ много комиссий, в том числе за операции по покупке или продаже.
Фондов много, все они обычно делятся на виды — например, инвестируют только в европейские компании или в государственные облигации. В этом еще одно отличие — в ПИФ управляющая компания может поменять направление практически на ходу, в ETF такого не происходит.
Если решите вкладывать в фонды, помните: к риску акций вы добавляете еще один риск — доверяете деньги управляющей компании. Но и вероятность заработать растет.
Краудлендинг
Это альтернативный вид инвестирования, когда с помощью онлайн-платформы много людей сбрасываются и дают деньги бизнесу. Процесс относительно новый, законодательно только начинает регулироваться — с 1 января 2020 года вступил в силу Федеральный закон от 02.08.2019 № 259-ФЗ о привлечении инвестиций с использованием инвестиционных платформ.
Сейчас компании, которые занимались краудлендингом, приводят свои процессы в соответствие с законом.
Краудлендинг считается инвестицией с высокими рисками — достаточно почитать отзывы о проектах, которые фактически разоряются и не возвращают вложения. Нужно понимать, что онлайн-площадка, на которой вы инвестируете, является посредником и в случае дефолта какого-то проекта не будет возвращать вам деньги.
Средний чек сейчас 420 000 руб., рассказывает руководитель отдела по работе с инвесторами краудлендинговой платформы «Город денег» Олег Новиков. Минимальный порог зависит от площадки — от 5 000 до 50 000 руб. за один перевод. Инвестиции лучше собирать не в один проект, а создавать портфель из нескольких. Один из основных плюсов этого инвестиционного инструмента — доходность от 20 % до 30 % годовых.
Основной минус этого направления такой же, как и у большинства инвестиционных инструментов — риск потерять часть инвестиций или всю сумму, — отмечает эксперт. — Чтобы обезопасить себя, нужно максимально тщательно подбирать проект, в который вы хотите инвестировать, изучать максимальное количество сведений о нем. Например, мы публикуем годовую выручку, кредитную историю, место ведения бизнеса, срок, историю его создания.
Олег Новиков рекомендует проверять и площадку. Мошенничество — второй потенциальный риск. Особенно громко о нем заговорили после истории с “Кэшберри”, когда площадка фактически обманывала инвесторов и забирала их деньги.
CEO краудлендинговой платформы JetLend Роман Хорошев перед крупными вливаниями денег в этот инструмент рекомендует протестировать проекты небольшими суммами.
Практика — лучшее обучение. Для старта достаточно 10 000-30 000 руб. Распределив их между платформами, подождите 3-6 месяцев. И после этого, получив первые результаты, принимайте решение по выбору инструмента и партнера.
Негативно о таком виде инвестиций высказался предприниматель, частный инвестор и основатель холдинга «Ильич» Иван Родионов.
Это странное хобби. Тут и профессиональному бизнесмену не поздоровится, а начинающему инвестору даже лезть не стоит. Посоветовать этот способ могу разве что малому и среднему бизнесу. Выбирайте направления, в которых вы хорошо разбираетесь, смотрите, сочетаются ли ценности основателя проекта с вашими.
Когда речь идет о больших суммах, общаться с представителями проектов вы будете лично. Не пренебрегайте документами и протокольной системой договоренностей. Не будьте удобным и комфортным.
Недвижимость
Один из самых старых и традиционных способов сохранить деньги — инвестировать их в квартиры. Сейчас распространены два варианта заработка.
Покупка для сдачи в аренду
Ищите объекты с минимальной ценой и приличным ремонтом. Стоит присмотреться к отдаленным районам, в которых есть крупные вузы, обычно там лучше сочетание цены покупки и аренды. Это долгосрочная инвестиция, деньги на покупку отбиваются за 10-20 лет.
Еще можно попробовать вариант накопить первоначальный взнос и купить квартиру в ипотеку так, чтобы ежемесячный платеж можно было закрыть с арендной платы. Здесь риски выше, лучше иметь финансовую подушку на случай проблем с арендаторами.
Покупка новостройки на этапе котлована, продажа после сдачи дома
Какой-то устоявшейся разницы в ценах нет — это может быть и 5-10 %, и 50 %. Риски высокие — застройщик может задержать сдачу дома, и ваши средства окажутся заморожены. Еще нужно найти покупателя, поэтому вы зависите от спроса.
Чего нужно опасаться
Есть несколько категорий инвестиций, в которых риски потерять все деньги растут пропорционально:
Кратко о главном: как сохранить и приумножить деньги
Не пропустите новые публикации
Подпишитесь на рассылку, и мы поможем вам разобраться в требованиях законодательства, подскажем, что делать в спорных ситуациях, и научим больше зарабатывать.
Тема 2. Методологические основы принятия финансовых решений
Цель практикума по данной теме — сформировать навык решения задач на основе дисконтирования и компаундирования, обучить методам оценки доходности и риска, ознакомить с правилами решений в условиях риска и неопределенности.
Методические указания
Приступая к рассмотрению примеров и самостоятельному решению задач, необходимо внимательно прочесть контент по соответствующему вопросу темы. Базовые концепции в данной теме — это концепция денежного потока и концепция временной ценности денег. Важнейшие понятия: простые и сложные проценты, денежный поток, современная (настоящая) и будущая стоимости, внутренняя стоимость, доход, доходность и риск. Эти понятия следует выучить и разобраться в их соотношениях.
В решении задач используются формулы, объяснение которых представлено в контенте. Для облегчения поиска необходимых разъяснений в контенте нумерация формул и обозначения в практикуме такие же, как и в контенте.
2.1. Денежные потоки и методы их оценки
В данном параграфе используются следующие обозначения:
A — одинаковый ежегодный (ежеквартальный, ежемесячный и т. п.) приток/отток денег (выплаты, арендная плата), ден. ед.;
— приток (отток, выплата) в t-й год, ден. ед.;
D — доход, дивиденд, ден. ед.;
d — учетная ставка, доходность, %;
F — будущая стоимость (вклада, будущая сумма возвращаемого долга), ден. ед.;
FV — будущая (наращенная) стоимость денежного потока, ден. ед.;
— будущая стоимость аннуитета (аренды), ден. ед.;
k — количество периодов, лет, месяцев, дней;
m — число начислений в год, разы;
n — срок аренды (выплат, погашения долга, денежного потока), годы, месяцы, дни;
P — настоящая стоимость (вклада, долга), ден. ед.;
PV — настоящая (дисконтированная, приведенная) стоимость денежного потока, ден. ед.;
— настоящая стоимость аннуитета (аренды), ден. ед.;
r — процентная ставка (ставка наращения, ставка дисконтирования), %;
— эффективная процентная ставка, %;
V — внутренняя стоимость.
Задача 2.1.1.
Определить, чему равны учетная и процентная ставки при возрастании стоимости за год с 12 до 15 тыс. р.
Методические указания: использовать формулы (2.1.1), (2.1.2).
Дано:
Решение:
Учетная ставка находится по отношению к будущей стоимости:
Процентная ставка находится по отношению к настоящей (современной) стоимости:
Ответ: Учетная ставка равна 20 %, процентная ставка равна 25 %.
Задача 2.1.2.
Какая сумма будет в банке через 3 года, если вложено 120 тыс. р. под 11 % годовых: а) без капитализации; б) с капитализацией?
Методические указания: использовать формулы (2.1.3), (2.1.5), (2.1.7).
Дано:
Решение:
По схеме простых процентов (без капитализации) наращенная сумма вклада составит:
F = P х (1 + r х n) = 120 х (1 + 0,11 х 3)=159,6 тыс. р.
При условии капитализации дохода используется
схема сложных процентов:
Ответ:
а) без капитализации сумма составит 159,6 тыс. р.
б) с капитализацией сумма составит 164,1 тыс. р.
Задача 2.1.3.
Сколько нужно вложить в банк для получения через 5 лет 400 тыс. р. под 15 % годовых: а) без капитализации; б) с капитализацией?
Методические указания: использовать формулы (2.1.3), (2.1.4), (2.1.5), (2.1.7).
Дано:
Решение:
Из формулы 2.1.5 (схема простых процентов) следует:
Из формулы 2.1.7 (схема сложных процентов) следует:
Задача 2.1.4.
Под какой процент следует вложить 100 тыс. р., чтобы получить 200 тыс. р. через 4 года?
Методические указания: использовать формулы (2.1.5), (2.1.7).
Дано:
Решение:
Поскольку в условии не уточняется, какую схему наращения следует использовать, рассмотрим оба варианта.
По схеме простых процентов наращение осуществляется по формуле 2.1.5, из которой следует:
По схеме сложных процентов наращение осуществляется по формуле 2.1.7, из которой следует:
Ответ: 100 тыс. р. следует вложить: а) без капитализации под 25 % годовых, б) с капитализацией — под 18,9 % годовых.
Задача 2.1.5.
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 тыс. р. вырастет до 40 тыс. р., если используется простая процентная ставка 20 % годовых.
Методические указания: использовать формулы (2.1.5).
Дано:
Решение:
Период начисления определяется по схеме простых процентов:
Ответ: Период начисления, за который первоначальный капитал увеличится до 40 тыс. р., составит 3 года.
Задача 2.1.6.
Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 тыс. р.
Методические указания: использовать формулы (2.1.5), (2.1.6).
Дано:
Решение:
Сумма, получаемая заемщиком, определяется по схеме простых процентов:
Поскольку ставка годовая, срок займа следует выразить в годах:
Ответ: Сумма, получаемая заемщиком, 33 955,8 р., сумма процентных денег 6 044,2 р.
Задача 2.1.7.
Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 9 млн р., если сумма в 10 млн р. выдается в ссуду на полгода.
Методические указания: использовать формулу (2.1.6).
Дано:
Решение:
Учетная ставка определяется по схеме простых процентов:
, откуда:
Ответ: Учетная ставка составляет 20 %.
Задача 2.1.8.
Определить современное значение суммы в 120 тыс. р., которая будет выплачена через 2 года, при использовании сложной учетной ставки 18 % годовых.
Методические указания: использовать формулы (2.1.6), (2.1.7).
Дано:
Решение:
Современное значение определяется по формуле сложной учетной ставки:
, откуда следует, что
Ответ: Современное значение составляет 80 688 р.
Задача 2.1.9.
Какая сумма образуется в банке через 2 года, если в банк положено 10 тыс. р. под 12 % годовых, начисляемых ежеквартально?
Методические указания: использовать формулу (2.1.8).
Дано:
Решение:
Проценты начисляются ежеквартально, т. е. 4 раза в год (m = 4). В этой ситуации будущая стоимость определяется:
Ответ: В банке накопится сумма 8157,3 р.
Задача 2.1.10.
Выдан кредит 200 тыс. р. на I квартал под 25 % годовых. В случае просрочки возврата долга процентная ставка увеличивается на 5 % в каждом следующем квартале и начисляется на наращенную сумму. Долг возвращается через год. Какую сумму следует вернуть?
Методические указания: ввести дополнительные обозначения:
использовать формулу (2.1.7).
Дано:
= 0,25
Решение:
Находим ставки наращения по кварталам:
; 
;
; 
.
Будущую стоимость находим по схеме сложных процентов с учетом того, что в каждом периоде ставки разные:
Ответ: В случае возврата долга через год следует вернуть 273,3 тыс. р.
Задача 2.1.11.
Какие условия вклада более выгодные: 1) 12 % годовых с ежеквартальным начислением; 2) 11 % годовых с ежемесячным начислением; 3) 12,5 % с начислением в конце года?
Методические указания: использовать формулу (2.1.9).
Дано:
=0,12
Решение:
Для сравнения вкладов с разными сроками начисления необходимо рассчитать эффективную ставку:
; 
.
Ответ: Наиболее выгоден первый вклад, т. к. фактически он дает 12,55 % годовых, менее всего выгоден второй вклад, дающий 11,57 % годовых.
Задача 2.1.12.
Рассчитать все возможные оценки денежного потока, включающего четыре последовательные выплаты в объеме 200, 180, 150 и 190 тыс. р. в год при процентной ставке 15 %.
Методические указания: использовать формулы (2.1.4), (2.1.5), (2.1.11) — (2.1.14).
Дано:
Решение:
Поскольку в условии не уточняется, какую схему наращения следует использовать, рассмотрим оба варианта.
По схеме сложных процентов дисконтирование осуществляется по формулам (2.1.13) и (2.1.14):
1) настоящая стоимость потока постнумерандо:
2) настоящая стоимость потока пренумерандо:
Можно увидеть, что 
и 
связаны зависимостью:
3) будущая стоимость постнумерандо:
4) будущая стоимость пренумерандо:
Можно увидеть, что 
и 
связаны зависимостью:
Ответ: 
; 
;
; 
Определим стоимость денежного потока при условии начисления простых процентов:
1) настоящая стоимость потока постнумерандо:
2) настоящая стоимость потока пренумерандо:
3) будущая стоимость потока постнумерандо:
4) будущая стоимость потока пренумерандо:
Ответ: 
; 
;
; 
Обратите внимание: настоящая стоимость при начислении простых процентов больше, чем при начислении сложных, а будущая стоимость при начислении простых процентов меньше, чем при начислении сложных.
Задача 2.1.13.
Сколько нужно вложить в банк под 25 % годовых, чтобы в течение 4 лет получать выплаты по 100 тыс. р.?
Методические указания: использовать формулу (2.1.15).
Дано:
Решение:
Поскольку выплаты равномерные, то воспользуемся формулой для нахождения настоящей стоимости аннуитета постнумерандо:
Ответ: Следует вложить 236 160 р.
График начислений процентов и выплат представлен в табл. 2.1.1.
Таблица 2.1.1 — Начисление процентов и ежегодные выплаты, р.
Сумма на начало года
Начисленная сумма процентов
Сумма на конец года
Выплата в конце года
Задача 2.1.14.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15) и (2.1.16).
Дано:
Решение:
Выплаты осуществляются в начале каждого года, т. е. данная аренда порождает поток пренумерандо:
Задача 2.1.15.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15) и (2.1.17).
Дано:
Решение:
Вначале определяются ежегодные платежи по возврату долга. Поскольку долг возвращается равными платежами, этот денежный поток рассматривается как постоянный аннуитет. Из формулы настоящей стоимости аннуитета постнумерандо (2.1.15) можно найти размер ежегодного платежа:
Для расчета суммы, накопленной в банке следует воспользоваться формулой будущей стоимости аннуитета постнумерандо:
Задача 2.1.16.
Рассчитать стоимость аренды при ежегодной выплате 15 тыс. р. и процентной ставке 10 %: а) на срок 10 лет, б) бессрочной
Методические указания: использовать формулы (2.1.15) — (2.1.19).
Дано:
Решение:
Для каждого срочного денежного потока можно рассчитать четыре оценки:
1) настоящая стоимость аренды постнумерандо (при оплате аренды в конце каждого года):
2) настоящая стоимость аренды пренумерандо (при оплате аренды в начале каждого года):
3) Будущая стоимость аренды постнумерандо:
4) будущая стоимость аренды пренумерандо:
Оценки бессрочной аренды:
Ответ: 
, 
,
, 
Задача 2.1.17.
Определить размер равномерных выплат при возврате долга, если сумма долга 150 тыс. р. на 4 года, процентная ставка 11 % годовых.
Методические указания: использовать формулу (2.1.15).
Дано:
Решение:
При условии возврата долга равными долями в конце каждого года соответствующий денежный поток представляет собой постоянный аннуитет, постнумерандо, размер платежа по которому определяется из формулы настоящей стоимости аннуитета:
, откуда
Ответ: Ежегодный размер выплат составит 48,4 тыс. р.
Замечание: Следует обратить внимание на структуру платежа, которая меняется год от года (табл. 2.1.2).
Таблица 2.1.2 — Структура ежегодных платежей
Остаток долга на начало года
Сумма в счет погашения долга
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.1.18.
Определить, чему равны учетная и процентная ставки при возрастании стоимости за год с 10 до 18 тыс. р.
Методические указания: использовать формулы (2.1.1), (2.1.2).
Задача 2.1.19.
Рассчитать все возможные оценки денежного потока, включающего четыре последовательных выплаты в объеме (200, 180, 250, 220, 190) тыс. р. в год при процентной ставке 13 %.
Методические указания: использовать формулы (2.1.4), (2.1.5), (2.1.11) — (2.1.14).
Задача 2.1.20.
Рассчитать стоимость аренды при ежегодной выплате 25 тыс. р. и процентной ставке 12 %: а) на срок 15 лет, б) бессрочной.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15) — (2.1.19).
Задача 2.1.21.
Выдан кредит 100 тыс. р. на полугодие под 30 % годовых. В случае просрочки возврата долга процентная ставка увеличивается на 3 % в каждом следующем полугодии и начисляется на наращенную сумму. Долг возвращается через 1,5 года. Какую сумму следует вернуть?
— процентная годовая ставка в 1-3 полугодиях соответственно, 
— процентная полугодовая ставка наращения в 1-3 полугодиях соответственно;
использовать формулу (2.1.7).
Задача 2.1.22.
Сколько нужно вложить в банк для получения через 4 года 500 тыс. р. под 12 % годовых: а) без капитализации, б) с капитализацией?
Задача 2.1.23.
Рассчитать учетную ставку, которая обеспечивает получение 8 млн р., если сумма в 8,5 млн р. выдается в ссуду на один квартал.
Методические указания: использовать формулу (2.1.6).
Задача 2.1.24.
Сколько нужно вложить в банк под 15 % годовых, чтобы в течение 5 лет получать выплаты по 100 тыс. р.?
Методические указания: использовать формулу (2.1.15).
Задача 2.1.25.
Какая сумма будет в банке через 4 года, если вложено 110 тыс. р. под 12 % годовых: а) без капитализации, б) с капитализацией?
Методические указания: использовать формулы (2.1.3), (2.1.5), (2.1.7).
Задача 2.1.26.
Определить современное значение суммы в 150 тыс. р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 15 % годовых.
Методические указания: использовать формулы (2.1.6), (2.1.7).
Задача 2.1.27.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15) и (2.1.16).
Задача 2.1.28.
Определить размер равномерных выплат при возврате долга, если сумма долга 200 тыс. р. на 3 года, процентная ставка 12 % годовых.
Методические указания: использовать формулу (2.1.15).
Задача 2.1.29.
Под какой процент следует вложить 50 тыс. р., чтобы получить 150 тыс. р. через 5 лет?
Методические указания: использовать формулы (2.1.5), (2.1.7).
Задача 2.1.30.
Какие условия вклада более выгодные: 1) 13 % годовых с ежеквартальным начислением; 2) 12 % годовых с ежемесячным начислением; 3) 14 % с начислением в конце года?
Методические указания: использовать формулу (2.1.9).
Задача 2.1.31.
Кредит выдается под простую ставку 20 % годовых на 280 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 35 тыс. р.
Методические указания: использовать формулы (2.1.5), (2.1.6).
Задача 2.1.32.
Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 35 тыс. р. вырастет до 50 тыс. р., если используется простая процентная ставка 25 % годовых.
Методические указания: использовать формулу (2.1.5).
Задача 2.1.33.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15) и (2.1.17).
Задача 2.1.34.
Какая сумма образуется в банке через 2,5 года, если в банк положена 1000 р. под 13 % годовых, начисляемых ежеквартально?
Методические указания: использовать формулу (2.1.8).
2.2. Методы оценки финансовых активов
В данном параграфе используются следующие обозначения:
A — одинаковый ежегодный (ежеквартальный, ежемесячный и т. п.) приток/отток денег (выплаты, арендная плата), ден. ед.;
D — доход, дивиденд, ден. ед.;
— средний доход (дивиденд, выплата). ден. ед.
d — учетная ставка, доходность, %;
F — будущая стоимость (вклада, будущая сумма возвращаемого долга), ден. ед.;
g — темп прироста дивиденда, %;
k — количество периодов, лет, месяцев, дней;
m — число начислений в год, разы;
n — срок аренды (выплат, погашения долга, денежного потока), годы, месяцы, дни;
P — настоящая стоимость (вклада, долга), ден. ед.;
r — процентная ставка (ставка наращения, ставка дисконтирования), %;
re— эффективная процентная ставка, %;
V — внутренняя стоимость;
аор — акция обыкновенная с равномерным ростом дивиденда;
аон — акция обыкновенная с неравномерным ростом дивиденда;
ап — привилегированная акция;
апв — акция привилегированная выкупная;
он — облигация с нулевым купоном;
об — облигация бессрочная;
опд — облигация безотзывная с постоянным доходом.
Задача 2.2.1.
Определить курсовую стоимость привилегированной акции, номинал которой 300 р., ставка дивиденда 25 %. Банковская ставка процента 20 %.
Методические указания: использовать формулу (2.2.5).
Дано:
Решение:
Исходя из предположения, что курсовая стоимость отражает внутреннюю стоимость акции, курсовую стоимость можно найти следующим образом:
Ответ: Курсовая стоимость акции составляет 375 ру.
Задача 2.2.2.
Методические указания: использовать формулу (2.2.5).
Дано:
Решение:
Постоянный регулярный доход, который приносит сдача в аренду имущества, по существу представляет собой денежный поток, аналогичный потоку дивидендов, порождаемому привилегированной акцией.
В связи с этим можно воспользоваться формулой оценки внутренней стоимости привилегированной акции:
Задача 2.2.3.
Последний выплаченный дивиденд составил 200 р. на одну акцию. Ожидается рост дивидендов со среднегодовым темпом прироста 5 %. Среднерыночная доходность акций аналогичного класса риска составляет 10 %. Определить целесообразность покупки акции, если ее цена на рынке составляет 4,5 тыс. р.
Методические указания: использовать формулу (2.2.8).
Дано:
Решение:
Оценка внутренней стоимости акции с равномерно возрастающим дивидендом рассчитывается с помощью формулы Гордона:
Далее необходимо сравнить цену и внутреннюю стоимость акции:
Р = 4500 р. > 4200 p. = V аор.
Ответ: Внутренняя стоимость акции меньше рыночной цены, поэтому покупка акции нецелесообразна.
Задача 2.2.4.
Методические указания: использовать формулы (2.2.4), (2.2.5) и (2.2.10).
Дано:
Решение:
В данном случае внутренняя стоимость акции складывается из двух слагаемых — первое (для первых 4 лет) на основе формулы (2.2.4); второе — для 5-го и последующих периодов на основе формулы (2.2.5) с учетом дисконтирования. Итоговая формула для оценки внутренней стоимости акции в данном случае примет вид:
Сравним внутреннюю стоимость и цену — цена выше.
Ответ: Поскольку цена выше внутренней стоимости, продажа акции целесообразна (при возможности вложения денег в другие финансовые инструменты со среднерыночной доходностью 12 % и аналогичным классом риска).
Задача 2.2.5.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15), (2.2.10).
Дано:
Решение:
Для определения внутренней стоимости акции воспользуемся формулой (2.2.10) с учетом того, что в первые 3 года денежный поток представляет собой постоянный аннуитет (формула 2.1.15):
Для ответа на вопрос о целесообразности покупки акции необходимо сравнить рыночную цену и внутреннюю стоимость акции:
Задача 2.2.8.
Какова теоретическая стоимость бессрочной облигации с годовым доходом 500 р. при приемлемой прибыльности 17 %?
Методические указания: использовать формулу (2.2.12).
Дано:
Решение:
Ответ: Теоретическая стоимость бессрочной облигации составляет 2941 рубль.
Задача 2.2.9.
Рассчитать внутреннюю стоимость облигации, выпущенную на 4 года номиналом 1 тыс. р. Купонная ставка 15 % годовых, доход выплачивается дважды в год. Среднерыночная ставка — 10 %. Проанализировать зависимость внутренней стоимости от среднерыночной ставки процента.
Методические указания: использовать формулы (2.1.9), (2.1.15) и (2.2.13).
Дано:
Решение:
Модифицируем формулу (2.2.13) с использованием формул (2.1.9) и (2.1.15):
Рассмотрим, как изменится внутренняя стоимость облигации при увеличении среднерыночной ставки процента, например, до 18 %:
При увеличении среднерыночной ставки процента внутренняя стоимость финансового инструмента уменьшается, и наоборот, при уменьшении среднерыночной ставки внутренняя стоимость увеличивается.
Обратите внимание, что если среднерыночная ставка равна купонной ставке, то внутренняя стоимость облигации равна номиналу:
Ответ: Внутренняя стоимость облигации равна 1162 р. Внутренняя стоимость облигации имеет обратную зависимость от среднерыночной ставки процента.
Задача 2.2.10.
Рассчитать внутреннюю стоимость облигации, выпущенную на 4 года номиналом 1 тыс. р. Купонная ставка 15 % годовых, доход выплачивается один раз в год. Проанализировать изменение внутренней стоимости облигации во времени по мере приближения срока погашения 1) в случае, если купонная доходность меньше среднерыночной ставки процента, 2) в случае, если купонная доходность больше среднерыночной ставки процента; 3) в случае, если купонная доходность равна среднерыночной ставке процента.
Методические указания: использовать формулу (2.2.13).
Дано:
Решение:
Рассмотрим три варианта среднерыночной ставки процента: 
.
Предварительно рассчитаем вспомогательные величины (табл. 2.2.1).
Таблица 2.2.1 — Коэффициенты дисконтирования
=
=
=
Начнем со среднерыночной ставки, равной купонной доходности облигации, т. е. 15 %. Рассчитаем внутреннюю стоимость облигации на момент выпуска:
Рассчитаем внутреннюю стоимость облигации через год:
Аналогичный результат получим через 2 и 3 года. Т. е. в этом случае внутренняя стоимость облигации не меняется и остается равной номиналу.
Рассчитаем внутреннюю стоимость облигации на момент выпуска при рыночной ставке 10 %:
Рассчитаем внутреннюю стоимость облигации через год:
Рассчитаем внутреннюю стоимость облигации через 2 года:
Рассчитаем внутреннюю стоимость облигации через 3 года:
Через 4 года облигация погашается по номиналу.
Аналогичным образом рассчитаем внутреннюю стоимость облигации при среднерыночной ставке 20 %. Результаты расчетов занесем в табл. 2.2.2.
Таблица 2.2.2 — Динамика внутренней стоимости облигации
Среднерыночная ставка процента
Внутренняя стоимость облигации
Ответ: Значения внутренней стоимости облигации на разные моменты времени и при разных среднерыночных ставках процента приведены в табл. 2.2.2. При среднерыночной ставке процента больше купонной ставки внутренняя стоимость облигации со временем повышается. При среднерыночной ставке процента меньше купонной ставки внутренняя стоимость облигации со временем понижается.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.2.11.
Последний выплаченный дивиденд составил 300 р. на одну акцию. Ожидается рост дивидендов со среднегодовым темпом прироста 4 %. Среднерыночная доходность акций аналогичного класса риска составляет 15 %. Определить целесообразность покупки акции, если ее цена на рынке составляет 3,5 тыс. р.
Методические указания: использовать формулу (2.2.8).
Задача 2.2.12.
Оценить целесообразность вложения денежных средств в пакет облигаций, если известно: номинал пакета — 50 тыс. руб., цена погашения равна номиналу, купонный процент по облигациям не выплачивается. Сегодня пакет можно приобрести за 40 тыс. руб. Срок погашения пакета — через 3 года. Инвестора устроит доходность не менее 20 % годовых.
Методические указания: использовать формулу (2.1.7).
Задача 2.2.13.
Методические указания: использовать формулу (2.2.5).
Задача 2.2.14.
Какова теоретическая стоимость бессрочной облигации с годовым доходом 600 р. при приемлемой прибыльности 18 %?
Методические указания: использовать формулу (2.2.12).
Задача 2.2.15.
Методические указания: использовать формулу (2.2.5).
Задача 2.2.16.
Облигация с нулевым купоном, выпущенная на срок 4 года, продается за 750 р. Номинальная цена облигации 1 тыс. р. Среднерыночная доходность финансовых инструментов аналогичного класса риска составляет 10 %. Выгодна ли покупка?
Методические указания: Вопрос о целесообразности покупки можно решать: 1) путем сравнения внутренней стоимости и цены, 2) путем сравнения среднерыночной и реальной доходносткй облигации. Рассмотрите оба варианта, для чего необходимо использовать формулы (2.2.11) и (2.1.7).
Задача 2.2.17.
Методические указания: использовать формулы (2.2.4), (2.2.5) и (2.2.10).
Задача 2.2.18.
Рассчитать внутреннюю стоимость облигации, выпущенной на 3 года номиналом 800 р. Купонная ставка 10 % годовых, доход выплачивается один раз в год. Проанализировать изменение внутренней стоимости облигации во времени по мере приближения срока погашения: 1) при среднерыночной ставке процента 8 %, 2) при среднерыночной ставке процента 13 %; 3) при среднерыночной ставке процента 10 %.
Задача 2.2.19.
Методические указания: использовать формулы (2.1.15), (2.2.10).
Задача 2.2.20.
Рассчитать внутреннюю стоимость облигации, выпущеннорй на 5 лет номиналом 1200 р. Купонная ставка 10 % за полугодие, доход выплачивается дважды в год. Среднерыночная ставка — 18 %.
Методические указания: использовать формулы (2.1.9), (2.1.15) и (2.2.13).
2.3. Риск в финансовом менеджменте
В данном параграфе используются следующие обозначения:
CV — коэффициент вариации;
— средний доход (дивиденд, курс, выплата), ден. ед.;
— средняя доходность;
n — количество вариантов;
Задача 2.3.1.
Оценить риск покупки валюты, если курс за последние полгода колебался в диапазоне от 10 до 14 р. без явно выраженной тенденции к росту или падению. Статистические характеристики изменения курса приведены в табл.2.3.1.
Таблица 2.3.1 — Характеристика изменчивости курса валюты
Номер варианта (j)
Курс (
)
Количество дней (
)
Методические указания: использовать формулы (2.3.1) — (2.3.3).
Дано:
— в табл. 2.3.1
Решение:
Мерой риска может выступать среднеквадратическое отклонение курса от среднего — σ, а также коэффициент вариации — CV, в основе которых лежит расчет дисперсии:
.
Для использования данной формулы необходимо рассчитать среднее значение курса валюты, а также частоты.
Среднее значение курса равно:
Находим частоты курсов:
Подставляем полученные результаты в формулу для расчета дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение равно:
.
.
Ответ: Риск покупки валюты может быть охарактеризован дисперсией, равной 1,94; среднеквадратическим отклонением 1,39 р.; коэффициентом вариации 11,3 %.
Задача 2.3.2.
Известный аналитический центр опубликовал данные по ценным бумагам компаний (табл. 2.3.2). Необходимо выбрать объект вложений.
Таблица 2.3.2 — Прогноз доходности ценных бумаг трех компаний
Вероятность, 
Методические указания: Принятие решения о вложении средств основывается на расчете ожидаемой доходности, дисперсии и коэффициента вариации по каждой ценной бумаге каждой компании. В решении необходимо использовать формулы (2.3.1) — (2.3.3).
Дано:
Найти:
Решение:
Прежде всего находим среднюю ожидаемую доходность ценных бумаг каждой компании:
Наиболее доходными являются ценные бумаги А(1).
С помощью полученных значений найдем дисперсию доходности по каждой ценной бумаге:
Из полученных дисперсий найдем СКО для каждой компании:
Минимальной дисперсией и соответственно минимальным среднеквадратическим отклонением характеризуются ценные бумаги компании А(1). Однако уровень колеблемости (риска) следует оценивать по отношению к среднему ожидаемому значению, для чего необходимо рассчитать коэффициенты вариации доходности ценных бумаг каждой компании:
Коэффициент вариации имеет минимальное значение также для ценных бумаг компании А(1).
На рис. 2.3.1 представлены средние, максимальные и минимальные доходности ценных бумаг трех компаний.
Рисунок 2.3.1 — Распределение доходностей акций трех компаний
Ответ: Нужно вкладываться в ценные бумаги А(1), т. к. они наиболее доходны и наименее рисковы.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.3.3.
Оценить риск покупки валюты, если курс за последние полгода колебался в диапазоне от 9 до 15 р. без явно выраженной тенденции к росту или падению. Статистические характеристики изменения курса приведены в табл. 2.3.3.
Таблица 2.3.3 — Характеристика изменчивости курса валюты
Номер варианта (j)
Курс (
)
Количество дней (
)
Методические указания: использовать формулы (2.3.1) — (2.3.3).
Задача 2.3.4.
Выбрать объект вложений, исходя из данных по ценным бумагам компаний, представленных в табл. 2.3.4.
Таблица 2.3.4 — Прогноз доходности ценных бумаг трех компаний
Компания (i)
Ситуация
Вероятность,
Доходность %,
Методические указания: Принятие решения о вложении средств основывается на расчете ожидаемой доходности, дисперсии и коэффициента вариации по каждой ценной бумаге каждой компании. В решении необходимо использовать формулы (2.3.1) — (2.3.3).
2.4. Принятие решений в условиях риска и неопределенности
В данном параграфе используются следующие обозначения:
А* — оптимальное решение;
bij — величина сожаления при выборе i-го варианта в случае, если среда пребывает в j- м состоянии;
f (Ai) — оценка i-го варианта по какому-либо критерию;
f (A*) — максимальное значение критерия при оптимальном решении;
a — коэффициент оптимизма;
Зпер — затраты переменные;
Зпст — затраты постоянные.
Задача 2.4.1.
В пункте проката выдаются в прокат холодильники. Оборудование это дорогое и, очевидно, его простой влечет за собой убытки.
Спрос на холодильники есть величина случайная, которая зависит от множества различных факторов.
Какое количество холодильников необходимо иметь в пункте проката, если известно, что:
Какое решение следует принять, если известно распределение вероятностей спроса (табл. 2.4.1).
Таблица 2.4.1 — Вероятности спроса на холодильники
Методические указания: Первый шаг решения задачи — это выбор возможных вариантов решения. Очевидно, при предположении, что спрос колеблется в диапазоне от 5 до 30 возможных вариантов — 26 (5, 6, 7 и т. д. до 30). Однако обычно рассматриваются не все, а несколько вариантов. Например: 5, 10, 15, 20, 25 и 30 холодильников. И такие же варианты спроса. Решим задачу при этих предположениях. В ходе решения следует использовать формулы (2.4.1) — (2.4.7) для принятия решений по разным правилам (критериям). Необходимо принять решение по всем критериям (по каждому отдельно).
При этом следует помнить, что в реальности для принятия решений следует использовать только одно правило, соответствующее предпочтениям лица, принимающего решения.
Дано:
Зпер = 1200 р./год на один хол.
D = 300 р./мес. на один хол.
Решение:
Рассмотрим 6 возможных вариантов решений А1=5, А2=10, А3=15, А4=20, А5=25, А6=30 и 6 возможных состояний среды (значений спроса): Z1=5, Z2=10, Z3=15, Z4=20, Z5=25, Z6=30.
В условиях риска и неопределенности для принятия решений строится матрица решений (в данном случае — матрица прибыли). Расчет элементов матрицы осуществляется по следующей формуле:
При использовании данной формулы следует помнить, что доход зависит не только от спроса, но и от того, сколько холодильников имеется в пункте проката, поэтому при расчете дохода используется минимальное из двух значений: наличия и спроса на холодильники.
Рассчитаем некоторые элементы матрицы прибыли:
f(A1,Z1) = –20 000 – 1200 х 5 + 300 х 12 х 5 = –8 тыс. р.;
Аналогичным образом рассчитываются остальные элементы (табл. 2.4.2).
Таблица 2.4.2 — Матрица прибыли (тыс. р.)
По критерию Вальда для каждого действия (в каждой строке) необходимо выбрать наихудший результат (минимальную прибыль), а затем из них выбрать лучший (максимальную прибыль из минимальных), используя формулу (2.4.3):
Это означает, что при принятии решения о наличии 5 холодильников в пункте проката в худшем случае убыток составит 8 тыс. рублей в год.
Аналогично рассчитываются все f(Ai) (см. табл. 2.4.4).
Далее выбирается решение, максимизирующее ожидаемую прибыль:
Таким образом, при пессимистическом прогнозе открывать прокат холодильников не следует, т. к. даже при минимальном количестве холодильников доход не достаточен для покрытия расходов. При наличии 5 холодильников убыток составляет 8 тыс. рублей в год.
По критерию оптимизма необходимо выбрать наилучший из всех возможных результатов всех действий (сначала максимум в каждой строке, а потом максимум из максимумов):
Это означает, что при принятии решения о наличии 5 холодильников в пункте проката в лучшем случае убыток составит 8 тыс. рублей в год.
Аналогично рассчитываются все f (Ai) (см. табл. 2.4.4).
Далее выбирается решение максимизирующее ожидаемую прибыль:
Таким образом, при оптимистическом прогнозе в пункте проката следует иметь 30 холодильников, т. к. в этом случае получается максимальная прибыль 52 тыс. р. в год.
По критерию Гурвица необходимо найти среднюю взвешенную оценку наилучшего и наихудшего результатов по каждому действию, где в качестве веса выступает коэффициент оптимизма (формула 2.4.4). Для примера рассмотрим a =0,8:
Это означает, что при принятии решения о наличии 25 холодильников в пункте проката ожидается прибыль 25,6 тыс. р. в год.
Аналогично рассчитываются все f(Ai) (см. табл. 2.4.4).
Далее выбирается решение максимизирующее ожидаемую прибыль:
По критерию Гурвица при a =0,8 следует в пункте проката иметь 30 холодильников, при этом ожидается прибыль 34 тыс. рублей в год.
По критерию Лапласа необходимо найти среднюю оценку всех возможных результатов по каждому действию (формула 2.4.5), например:
Это означает, что при принятии решения о наличии 20 холодильников в пункте проката ожидается прибыль 10 тыс. рублей в год.
Аналогично рассчитываются все f(Ai) (см. табл. 2.4.4).
Далее выбирается решение, максимизирующее ожидаемую прибыль:
В случае если максимальная прибыль ожидается по двум вариантам — 20 и 25 холодильников, следует использовать критерий осторожности (Вальда) для выбора из этих вариантов. По критерию Вальда: f(A4=20)=-26 > f(A5=25)=-32, следовательно, необходимо выбрать четвертый вариант — 20 холодильников.
Для использования критерия Сэвиджа необходимо рассчитать матрицу сожалений (табл. 2.4.3), используя формулу (2.4.6): в каждом столбце матрицы прибыли выбирается максимальный элемент, из которого последовательно вычитаются все элементы рассматриваемого столбца, например:
Аналогично рассчитываются все bij (см. табл. 2.4.3).
Затем выбираются максимальные сожаления для каждого варианта решения (формула 2.4.7):
Аналогично выбираются все bi (см. табл. 2.4.3).
Таблица 2.4.3 — Матрица сожалений
Далее выбирается минимум из выбранных вариантов:
Поскольку минимальное сожаление ожидается по двум вариантам — 20 и 25 холодильников, следует также использовать критерий осторожности (Вальда) для выбора из этих вариантов. По критерию Вальда: f(A4=20)=–26 > f(A5=25)=–32, следовательно, необходимо выбрать четвертый вариант — 20 холодильников.
В табл. 2.4.4 сведены все решения.
Таблица 2.4.4 — Ожидаемая прибыль по разным правилам (критериям)
В случае если известны вероятности спроса, решение находится, исходя из расчета математического ожидания прибыли (2.4.2):
f(A2) = 0,05 х (–14) + (0,2 + 0,3 + 0,2 + 0,15 + 0,1) х 4 = 3,1
f(A3) = 0,05 х (–20) + 0,2 х (–2) + (0,3 + 0,2 + 0,15 + 0,1) х 16 = 10,6
f(A4) = 0,05 х (-26) + 0,2 х (-8) + 0,3 х 10 + (0,2 + 0,15 + 0,1) х 28 = 12,7
f(A5) = 0,05 х (-32) + 0,2 х (-14) + 0,3 х 4 + 0,2 х 22 + (0,15 + 0,1) х 40 = 15,2
f(A6) = 0,05 х (-38) + 0,2 х (-20) + 0,3 х (-2) +0,2 х 16 +0,15 х 34 + 0,1 х 52 = 7.
Максимум ожидаемой прибыли 15,2 тыс. р. в год получается при принятии решения о наличии 25 холодильников в пункте проката.
Ответ: По критерию Вальда не следует открывать прокат холодильников.
По критерию Гурвица при коэффициенте оптимизма 0,8 следует иметь 30 холодильников.
При заданном распределении вероятностей (табл. 2.4.1) лучшим является решение о наличии 25 холодильников.
Задачи для самостоятельного решения
Методические указания: при решении задач 2.4.2 — 2.4.10 пользуйтесь методическими указаниями к задаче 2.4.1.
Задача 2.4.2.
Необходимо построить консервную фабрику по переработке овощей. Имеются проекты строительства в расчете на разную мощность: 10, 20, 30, 40, 50 тыс. т в год. Затраты на строительство вне зависимости от мощности составляет 420 млн руб. Кроме того, затраты на каждую 1 тыс. т мощности — 2 млн руб. Известно, что урожайность овощей может принимать значения от 10 до 50 тыс. т в год. Доход от переработки 1 т овощей 20 тыс. р.
Какой проект следует принять?
Задача 2.4.3.
В парке культуры решено организовать лодочную станцию. Затраты на содержание лодочной станции вне зависимости от количества лодок составляют 80 тыс. р. в сезон (100 дней). Содержание каждой лодки на лодочной станции в сезон составляет 2 тыс. р. Предполагается, что лодочная станция будет работать каждый день по 10 ч. Прокат лодки в час стоит 30 р. Известно, что спрос на лодки колеблется от 5 до 25 в час.
Какое количество лодок (10, 15, 20, 25) должно быть на станции?
Задача 2.4.4.
В городке аттракционов строится колесо обозрения. Имеются проекты с 30, 40, 50, 60 кабинами. В каждой кабине 4 места. Предполагается, что ежедневно будет проводиться 10 рейсов. Затраты на содержание колеса вне зависимости от количества посетителей составляют 3 тыс. р. в день. Кроме того, каждые 10 кабинок приводят к возрастанию затрат на 1000 руб. ежедневно. Число посетителей может составлять в среднем 120, 160, 200, 220 человек на каждый рейс. Стоимость билета 20 руб.
Какой проект принять?
Задача 2.4.5.
Требуется построить кинотеатр. Имеются проекты на 600, 700, 800, 900 мест. Затраты на содержание кинотеатра составляют 4 тыс. р. в день. Дополнительные затраты на содержание каждых 100 мест составляют 1000 руб. в день. Планируется проведение 6 сеансов ежедневно. Цена билета 120 руб. Известно, что число занятых мест в сеанс может быть 500, 600, 700, 800, 900.
Какой проект следует выбрать?
Задача 2.4.6.
Строится гараж для легковых автомобилей. Требуется определить, на сколько мест строить гараж, если сведений о количестве автомобилей у жителей района нет. Предполагается, что это случайная величина, определенная на интервале от 50 до 200. Затраты на строительство, не зависящие от числа мест, составляют 3 млн. руб., затраты на каждое место — 100 тыс. р., выплачиваются равномерно в течение 10 лет. Доход, получаемый от эксплуатации гаража, составляет 4 тыс. р. на одно занятое место в год.
Задача 2.4.7.
На вновь организованную выставку требуются экскурсоводы. Каждый экскурсовод может провести 4 экскурсии в день (каждая экскурсия по 25 человек). Затраты на содержание выставки составляют 3500 руб. в день. Зарплата экскурсовода — 1200 руб. в день. Ежедневно выставку могут посетить 50, 100, 150, 200, 250, 300 человек. Цена билета 50 руб.
Сколько требуется экскурсоводов?
Задача 2.4.8.
Возле станции метро решено построить павильон по продаже мороженого. Затраты на содержание павильона составляют 1000 р. в день. Известно, что один продавец может продать в день до 400 штук мороженого. Средний доход от продажи одного мороженого составляет 3 руб. Затраты на одного продавца составляют 600 руб. в день. Спрос колеблется от 300 до 1200 шт. мороженого в день (300, 600, 900, 1200).
Сколько продавцов следует нанять?
Задача 2.4.9.
Организуется прокат детских автомобилей. Затраты на содержание станции составляют 270 тыс. р. в сезон. Сезон — 90 дней. Затраты на содержание каждого автомобиля составляют 9 тыс. р. в сезон. Прокат одного автомобиля стоит 100 р. Каждый автомобиль может сдаваться в прокат 4 раза в день. Предполагается, что количество желающих покататься колеблется в диапазоне от 20 до 100 (20, 40, 60, 80, 100) в день. (Составить матрицу прибыли в день)
Сколько автомобилей следует иметь на станции?
Задача 2.4.10.
Открывается парикмахерская. Затраты, не зависящие от числа рабочих мест, составляют 10 тыс. р. в месяц. Месяц — 25 рабочих дней. Содержание каждого рабочего места увеличивает затраты на 3 тыс. р. в месяц. Зарплата одного парикмахера — 16 тыс. р. в месяц. Стоимость одной прически — 500 руб. Каждый парикмахер может обслужить в день 20 клиентов. Ожидается от 20 до 60 клиентов в день (20, 30, 40, 50, 60).
Сколько нужно парикмахеров?
Задача 2.4.11.
В районе новостроек решено организовать курсы иностранных языков. Аренда помещения на полгода стоит 250 тыс. р. Зарплата одного педагога — 12 тыс. р. в месяц. Один преподаватель может обучать группу в 30 человек. Каждый обучающийся должен внести плату за полугодовой курс 15 тыс. р. Количество желающих прогнозируется от 30 до 150 человек.
Сколько групп следует открыть?
2.5. Риск и доходность финансовых активов
Задача 2.5.1.
Оценить доходность облигации с купонным доходом 8 % год, которая продается за 5 тыс. р. Через 5 лет облигация будет погашена по номиналу 5500 р.
Методические указания: 1) ввести обозначения: N — номинальная цена облигации; P — рыночная цена облигации на момент покупки;
— купонная доходность облигации; d — реальная доходность облигации; n — число лет, оставшихся до погашения облигации;
— годовой купонный доход;
2) использовать формулу (2.5.3).
Дано:
= 0,08
Решение:
Доходность — это отношение среднегодового дохода к инвестициям (затратам). Среднегодовой доход от облигации складывается из годового купонного дохода и среднегодового прироста стоимости облигации:
Ответ: Среднегодовая доходность облигации 10,2 %.
Задача 2.5.2.
Определить ожидаемую доходность акции, которая продается по цене 1200 р., ожидаемый дивиденд 600 р. Инвестор предполагает продать акцию через 2 года по цене 2 тыс. р.
Методические указания: 1) ввести обозначения: da — доходность акции; dat — текущая (дивидендная) доходность акции; dac — капитализированная доходность акции; 
— рыночная цена акции на момент принятия решения о покупке; 
— ожидаемая цена акции на момент ее предполагаемой продажи; 
— ожидаемое число лет владения акцией; D — дивиденд;
2) использовать формулу (2.5.7).
Дано:
=1200 р.
= 2 тыс. р.
Решение:
Текущая доходность акции:
;
.
Ответ: Доходность акции 88,3 % годовых.
Задача 2.5.3.
Определить ожидаемую доходность акции, которая продается по цене 1500 р., полученный дивиденд 300 р., ожидается равномерный рост дивиденда 4 % в год.
Методические указания: 1) ввести обозначения: da — доходность акции; dat — текущая (дивидендная) доходность акции; dac — капитализированная доходность акции; 
— последний полученный к моменту оценки дивиденд по акции; 
— ожидаемый дивиденд; — цена акции на момент оценки; 
— темп прироста дивиденда.
2) использовать формулу (2.5.8).
Дано:
=1500 р.
=300 р.
=0,04 в год
Решение:
Для оценки значений ожидаемой общей доходности обыкновенных акций с равномерно возрастающими дивидендами можно воспользоваться формулой Гордона:
Ответ: Доходность акции 24,8 % годовых.
Задача 2.5.4.
Рассчитать премию за риск, которую необходимо учитывать при оценке внутренней стоимости инструмента. Данные о доходности рассматриваемого финансового инструмента и о среднерыночной доходности данной группы финансовых инструментов представлены в табл. 2.5.1. Безрисковая доходность 10 %. Оценить ожидаемую доходность финансового инструмента.
Таблица 2.5.1 — Доходность финансовых инструментов