какую функцию нужно добавить в множество так чтобы стало базисом

Образует ли базис система булевых функций

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Является ли полной система функций? Образует ли она базис?
Является ли полной система функций? Образует ли она базис? J = .

Является ли полной заданная система функций? Образует ли она базис?
Является ли полной заданная система функций? Образует ли она базис?

Является ли полной система функций, образует ли она базис
\large J= \begin x\wedge y,x\rightarrow \bar y \end (вторая фигурная чето не.

Решение

Насчёт первой функции вы ошиблись единожды: она-таки сохраняет ноль.

Вторая же функция ноль не сохраняет.

Тем не менее, система функций действительно полна.

И поскольку каждая из функций сама по себе не составляют полную систему, значит данная система является базисом (из неё нельзя выбросить ни одной функции, чтобы оставшиеся продолжали образовывать полную систему).

Проверить, образует ли следующая система многочленов базис
Образует ли следующая система многочленов 1-x^4, x-x^4, x^2-x^4, x^3-x^4, x^4 базис в линейном.

Найти базис пересечения классов булевых функций!
Помогите! Вопрос продолжения обучения. Нужно найти базис пересечения классов самодвойственных.

Образует ли система многочленов базис в линейном ространстве многочленов степени не выше 3
Образует ли система 1, t, t^2-t, t^3-t^2+t многочленов базис в линейном ространстве многочленов.

Является ли полной функция, образует ли она базис
Помогите прошу Является ли полной функция? Образует ли она базис? Добавлено через 3 минуты Вот.

Источник

2.3.4. Базисы пространства булевых функций

Определение. Полная система функций называется Базисом пространства булевых функций, если любое собственное подмножество данной системы функций уже не является полным.

Другими словами, базис – это минимальная (но не по количеству, а в смысле отношения включения) полная система булевых функций.

Примеры. Система функций — полная, но не базис, так как полными являются ее подмножества и (последнее вытекает из равенств и ). Множества и уже являются базисами. Они носят названия конъюнктивного и дизъюнктивного базиса Буля, соответственно. Нетрудно показать, что базисом является также множество — базис Жегалкина.

Рассмотрим две новые функции: (стрелка Пирса) и (штрих Шеффера), которые определяются таблицей значений, приведенной справа. Легко видеть также, что справедливы следующие представления этих функций:

==;

==.

Несложно проверить, что каждая из этих функций не принадлежит ни одному из основных замкнутых классов K0, K1, KS, KM, KL. Таким образом, одноэлементные множества <> и <> также являются базисами (базис Пирса и базис Шеффера).

Теорема. Всякий базис пространства булевых функций содержит не более четырёх функций.

Замечание. Оценку 4 (количества функций в базисе) в общем случае нельзя уменьшить, так как существуют базисы из четырёх функций, например, (см. пункт 3). Рассмотренные выше примеры показывают, что существуют также базисы, состоящие из одной, двух и трёх функций.

Пример. Рассмотрим функций S =. Покажем, что она является полной, и найдем все базисы, которые можно составить из функций данной совокупности. Для этого заполним следующую таблицу (впрочем, полнота S Следует уже из того, что S Содержит конъюнктивный базис Буля: ).

Чтобы найти все базисы, пронумеруем функции и отождествляя их с номерами запишем условие полноты в виде конъюнктивной формы. Для того, чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы для каждого из пяти основных замкнутых классов нашлась функция, которая данному классу не принадлежит (теорема Поста). Для класса K0 (см. таблицу) это может быть функция 2, 4 или 5; для класса K1 – 1 или 2 и т. д.. В результате получим:

Преобразуем полученную конъюнктивную форму в дизъюнктивную. В процессе преобразования будем формулу упрощать, пользуясь законами:

, .

Применив первый закон, сразу получим:

.

Далее, раскрывая скобки и упрощая согласно второму закону, окончательно получим:

.

Дальше дизъюнктивная форма не упрощается. Это означает, что имеется четыре базиса: 1) <1, 3, 5>; 2) <2, 3>; 3) <2, 4>; 4) <1, 4>(здесь цифры – номера функций).

Замечание. Метод, состоящий в записи конъюнктивной формы и её преобразовании в дизъюнкцию, который выше применялся для нахождения всех базисов данной совокупности функций, носит название Метода Петрика.

Источник

Полные системы функций. Теорема Поста о полной системе функций

Содержание

Полные системы функций [ править ]

Американский математик Эмиль Пост сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:

Замкнутые классы булевых функций [ править ]

Количество линейных функций от [math]n[/math] переменных равно [math]

Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее полиноме Жегалкина присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной. Построить полином Жегалкина можно с помощью преобразования Мебиуса.

Формулировка и доказательство критерия Поста [ править ]

Необходимость.

Заметим, что необходимость этого утверждения очевидна, так как если бы все функции из набора [math]K[/math] входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а, значит, и замыкание набора входило бы в этот класс, и набор [math]K[/math] не мог бы быть полным.

Достаточность.

Докажем, что если набор [math]K[/math] не содержится полностью ни в одном из данных классов, то он является полным.

Таким образом, возможны четыре варианта:

Рассмотрим несколько вариантов:

Значит, полученные функции образуют полную систему, поскольку с их помощью можно выразить любую булеву функцию. Из этого следует, что K — полная система функций, что и требовалось доказать.[math]\triangleleft[/math]

Примеры [ править ]

В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.

Широко известны такие полные системы булевых функций:

Первая система используется, например, для представления функций в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм, вторая — для представления в виде полиномов Жегалкина.

Первая из упоминавшихся выше полных систем безызбыточной не является, поскольку согласно законам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является безызбыточной — все три её элемента необходимы для полноты системы.

Теорема о максимальном числе функций в базисе: максимально возможное число булевых функций в базисе — четыре.

Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и, соответственно, о базисе этого класса. Например, систему [math]\left\<\oplus,1\right\>[/math] можно назвать базисом класса линейных функций.

Источник

Полнота системы булевых функций

На этой странице вы найдете готовые примеры по булевым функциям, связанные с проверкой принадлежности функций классам Поста и построению полной системы (или базиса) булевых функций. В некоторых заданиях с помощью этого базиса выражены базовые булевы функции и построены функциональные схемы.

Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Другие примеры решений о булевых функциях:

Задачи и решения о классах Поста и полноте

Задача 1. Является ли полной система булевых функций, состоящая из дизъюнкции и импликации?

Задача 2. Доказать полноту (или неполноту) приведенной системы булевых функций.

$$ f_1=x_1 \wedge x_2,\, f_2=0, \, f_3=x_1 \sim x_2.$$

Задача 4. Является ли полной система функций?

$$f (x, y, z, p)= \bar p \downarrow y \to z \vee p \Leftrightarrow y \oplus z |x \Leftarrow p$$

Задача 6. Проверить леммы о нелинейной, немонотонной и несамодвойственной функциях для функции

Решение задач на заказ

Классы Поста. Полнота системы функций

Математик Эмиль Пост ввел следующие замкнутые классы булевых функций:

То есть набор полон, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

Самые известные полные системы булевых функций:

Источник