какую функцию называют периодической

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

Дадим определение периодической функции:

Например, — периодические функции.

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Источник

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 сентября 2021 г.

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

Следовательно, при любом значении х

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

sin (α + 360 ° ) = sin α

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

где k – любое целое число.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

где k – любое целое число.

вычисляются по формуле

равен наименьшему числу, при делении которого на T 1 и T 2 получаются целые числа.

Найти период функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Наименьшее число, при делении которого на

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

Очевидно, что период заданной функции равен

Найти период функции :

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

Приведём к общему знаменателю периоды :

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :

Теперь найдём период заданной функции :

Источник

Периодическая функция

Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:

Число T называют периодом функции y=f(x).

Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).

Свойства периодических функций

1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).

2) Для любого x из области определения y=f(x) если T1 — период функции, то

Так как T2 также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T1

Следовательно, число T1+T2 является периодом функции y=f(x).

3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.

4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

Значит число T/k — период функции f(kx+b).

5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.

Например, для суммы f(x) и g(x):

Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называют главным (или основным) периодом функции.

Примеры периодических функций

1) Поскольку для любого x выполняются равенства

то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.

2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство

tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.

Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.

3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.

Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.

4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.

Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.

5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство =, то функция дробной части числа y= — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.

Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y=.

Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.

Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.

Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.

Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.

Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.

Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.

Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).

какую функцию называют периодической. картинка какую функцию называют периодической. какую функцию называют периодической фото. какую функцию называют периодической видео. какую функцию называют периодической смотреть картинку онлайн. смотреть картинку какую функцию называют периодической.

Дана часть графика

промежутке длиной T.

Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *