Как называется отрезок внутри круга
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Всё про окружность и круг
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Окружность
Окружность — это геометрическая фигура, которая состоит из
всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии
от данной точки.
Для решения задач, связанных с окружность, нужно знать её свойства.
Свойства окружности, как и любой другой фигуры зависят от
формы, размеров и так далее. В этой статье мы расскажем вам о
свойства окружности и об основных терминах,
таких как: хорда, радиус, дуга и так далее.
На рисунке 1 изображена окружность, где O — центр окружности,
PK — хорда, AO — радиус, АС — диаметр, DEF — дуга.
Центром окружности называется точка откуда берет начало радиус.
Расположена эта точка в центре окружности. Если внутри окружности
точка расположена на равном расстоянии от всех точек плоскости,
значит это центр окружности. O — центр окружности.
Отрезком соединяющим центр окружности и любую из точек плоскости
называют радиусом. Если отрезок внутри окружности соединяет центр
окружности с любой из точек плоскости, значит этот отрезок — радиус.
CO — радиус.
Отрезок, который соединяет две точки окружности, называется хордой.
Если отрезок внутри окружности соединяет любые две точки окружности,
значит этот отрезок — хорда. PK — хорда.
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности и проходящий через
центр окружности, называется диаметром. Если отрезок внутри окружности
соединяет любые две точки окружности и проходит через центр окружности,
значит этот отрезок диаметр. Диаметр в два раза больше радиуса. AC — диаметр.
У диаметра есть середина, которая является центром окружности. Две любые
точки окружности делят окружность на две части. Каждая из частей называется
дугой окружности.
Если две любые точки окружности, делят её на две части,
значит эти части — дуги. DEF — дуга.
Для того, чтобы изобразить окружность на чертеже используют циркуль.
Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться веревкой.
Кругом называется часть плоскости, которая ограничена окружностью.
Если часть плоскости ограничивает окружность, значит эта часть плоскости — круг.
Сумма углов окружности равна 360°.
Урок по геометрии на тему «Линии в круге. Диаметр». 5-й класс
Класс: 5
Базовый учебник: Учебник “Математика” 5 класса для специальных (коррекционных) образовательных учреждений VIII вида / Под ред. М.П.Перова, Г.М.Капустина / М. Пр. 2002г., стр. 190-191.
Формы работы учащихся: сочетание различных форм коллективной и индивидуальной работы на уроке и максимальная самостоятельность в учении учащихся.
Необходимое оборудование чертёжные принадлежности, альбомы, модели кругов, мультимедийное оборудование, презентация “Линии в круге, диаметр”.
Для лабораторной работы: лабораторный штангенциркуль, монеты.
Содержание урока.
I. Организационный момент
Ребята, послушайте, какая тишина!
Это в школе начались уроки.
Мы не будем тратить время зря,
И приступим все к работе.
II. Проверка домашнего задания: аппликация и рисунки по теме круг, окружность.
Вспомним, чем занимались на прошлом уроке?
III. Сегодня продолжаем изучать линии в круге.
Цели урока: познакомиться с новым понятием “диаметр”, научиться различать диаметр окружности и круга.
Запишем посредине альбомного листа число и тему урока.
Наш альбомный лист разделен на 4 части.
IV. Актуализация имеющихся знаний
1. Определите, какие геометрические фигуры изображены на рис. Запишите их названия (словарная работа) Слайд
Сравните фигуры. Что вы о них можете сказать?
Окрyжность – замкнутая кривая линия с точкой О в середине, которая называется цeнтром. Расстояние от центра до любой точке на окружности одинаковое.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. (Словарная работа).
Начинаем чертёж в левом верхнем углу альбомного листа.
Пальчиковая гимнастика:
Дружат в нашем классе
Девочки и мальчики (пальцы обеих рук сцепить вместе друг с другом)
Мы с тобой подружим,
Маленькие пальчики (пальцы обеих рук сжать и разжать).
Раз, два, три, четыре, пять –
Начинай считать опять (на каждый счёт потирать каждый пальчик и начать заново счёт на другой руке). Продолжай чертить опять.
Постройте окружность радиусом 4 см. Обведите окружность красным карандашом, круг закрасьте синим карандашом. С помощью какого чертёжного инструмента чертят окружность? (Словарная работа цuркуль).
ТБ при работе с циркулем. Учитель чертит на доске, дети в альбомах, работа в группах: слабый и сильный.
Обозначьте центр окружности точкой 0. На окружности отметьте точку М. Соедините точки О и М отрезком. Чем является отрезок ОМ? Слайд Напишите: R=4 см. (Учитель чертит на доске, дети в альбомах, помощь слабым учащимся).
Опираясь на рис., вставьте в предложение нужные слова:
Итоги, оценки этого этапа.
Введение нового понятия
Работаем в левом нижнем углу альбомного листа..
Работа с учебником, стр. 191, рис.85. Измерьте радиус круга по рис. 85. Напишите: ОМ=R=1 см 5 мм. Продолжите радиус от центра круга до пересечения с окружностью пунктирной линией и обозначьте точку пересечения буквой С. Чем являются отрезок ОС? Измерим отрезок ОС. Запишем: ОС=R=1 см 5 мм. Попытаемся самостоятельно сделать вывод, сколько радиусов вмешает отрезок МС?
Отрезок МС равен длине двух радиусов. Запишем: МС=2R.
Определите, проходит ли отрезок СМ через центр окружности? (Отрезок проходит через центр).
Ученикам предлагается модель круга, изготовленная из плотной бумаги, с выделенной окружностью, и ее центром. Дается задание: “Покажите окружность и ее центр. Перегните модель круга пополам. Разверните и выделите линию сгиба карандашом. Обозначьте полученный отрезок МС. Проходит ли данный отрезок через центр окружности? Сколько точек окружности он соединяет?” (Отрезок соединяет две точки на окружности и проходит через центр). Наклеить модель круга в нижний левый угол альбомного листа.
Теперь работаем в правом верхнем углу альбомного листа.
Начертите окружность радиусом 2 см 5 мм. Обозначьте центр окружности точкой 0. Проведите внутри окружности отрезок МС так, чтобы точки М и С лежали на окружности, а сам отрезок проходил через центр окружности.
Диaметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Диаметр обозначается буквой D. Диаметр равен длине двух радиусов.
(Словарная работа диaметр D, d) Запишем: МС= D=2R
Динамическая пауза.
— Теперь поиграем в игру.
— Я предлагаю вам карточки с чертежами окружностей, выбирайте.
— Те, у кого на окружности изображен диаметр, встаньте к доске; те, у кого – радиус, встаньте к двери, у кого центр – к окну.
— Проверьте между собой в группах. Покажите свои чертежи. Молодцы.
V. Закрепление нового материала
На рис. изображено несколько окружностей. Выберите те окружности, в которых проведен диаметр. Слайд.
Почему другие отрезки нельзя назвать диаметрами?
Как вы думаете, сколько диаметров можно провести в окружности?
Ученикам предлагается модель круга, изготовленная из плотной бумаги, с выделенной окружностью, и ее центром. Дается задание: “Перегните модель круга пополам. Разверните и выделите линию сгиба карандашом. Чем будет являться полученный отрезок? Перегните модель еще несколько раз. Выделите карандашом линии сгиба. Сколько диаметров у вас получилось?”. Наклеить модель круга в верхний правый угол альбомного листа.
Опираясь на рис, вставьте в предложение нужные слова:
А теперь я вам предлагаю задачу на внимание:
“Витя Верхоглядкин начертил в своей окружности 11 диаметров, а когда пересчитал радиусы, насчитал 21 радиус? Как вы думаете, правильно ли он сосчитал?”
Теперь работаем в правом нижнем углу альбомного листа. Запишем задачу примером, используя устные приёмы счёта: 
.
Я думаю вы догадались, что радиусов должно быть в 2 раза больше. Поэтому правильный ответ 22 радиуса.
VI. Домашнее задание. Слайд.
Рекомендации по подготовке работы
Рекомендации по проведению работы
Вспомним основные приемы измерения и ухода за штангенциркулем. Перед измерением штангенциркуль проверяют на точность показаний. Для этого плотно совмещают измерительные губки инструмента. В этом случае нулевые риски обеих шкал должны совпадать.
^ Основной монетной формой является монетный кружок, но монеты могут быть четырёхугольными, многоугольными, неправильной формы.
Инструкция для проведения работы для учащихся Слайд
При измерении наружного размера штангенциркуль берут в правую руку, затем разводят измерительные губки на размер, несколько больший размера измеряемой детали, помещают деталь между губками и передвигают рамку до соприкосновения губок с поверхностью детали. Вынимают деталь из промежутка между губками штангенциркуля. Держа штангенциркуль прямо перед глазами, считывают результат.
1. Возьмите штангенциркуль.
Вывод: Все ли монеты одинаковы? Монеты разного достоинства имеют разные диаметры.
— Сегодня на уроке вы познакомились с новым понятием “диаметр окружности и круга”. Давайте ещё раз повторим, что означает это понятие. (Дети читают определение по учебнику стр. 191)
— Какие измерения мы выполняли с помощью штангенциркуля?
Урок 31 Бесплатно Окружность и круг
Плоской геометрической фигурой называют множество точек на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.
Самыми простыми геометрическими фигурами являются луч, отрезок, ломаная прямая и др.
Объединение нескольких геометрических фигур так же является геометрической фигурой.
Так, например, часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией, называют многоугольником.
Нам уже хорошо известны такие многоугольники, как треугольник, квадрат, прямоугольник и другие.
Существуют геометрические фигуры, отличные от многоугольников, образованные замкнутой кривой линией.
К таким фигурам относятся круг и окружность.
Сегодня на уроке постараемся выяснить, что такое окружность, а что называют кругом.
Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, в чем их сходство и различие, рассмотрим, какими свойствами они обладают.
Разберем правило построения окружности и круга на плоскости.
Окружность и круг
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Многие из вас слышали такие устойчивые выражения и научные понятия:
«Круглый отличник»- учащийся, который имеет только отличные оценки.
«Круглый стол»- собрание заинтересованных сторон, целью которых является обсуждение проблемной ситуации, вопроса.
Все участники такого собрания высказывают свое мнение по рассматриваемому вопросу, выслушивают чужую точку зрения.
Участники круглого стола имеют равные права.
Считают, что выражение «собраться за круглым столом» произошло из мифологии старой Британии.
По легендам король-воин Артур был окружен свитой доблестных и отважных рыцарей.
Все заседания и пиршества рыцарей проходили за большим круглым столом, за которым рыцари были равны между собой и перед своим королем.
Круглый стол был символом равенства и братства.
В раннем средневековье круговая порука заключалась в ответственности всей общины за правонарушение, совершенное одним из его членов или на территории этой общины.
В крестьянской общине круговая порука обязывала крестьян к совместной имущественной ответственности по уплате податей и налогов.
«Ходить по кругу» означает выполнять различные действия и операции, постоянно возвращаясь к исходному результату (в начальную точку), другими словами, это бесполезный поиск выхода из сложившейся ситуации.
«Круглое число»- это число, оканчивающееся на нуль, например, 120, 30, 650 и т.д.
Существует мнение, что такие числа стали называть круглыми, так как нуль, на который оканчивалось число, имеет округлую форму (похож на круг).
«Малый и большой круги кровообращения»- это замкнутая сосудистая система, обеспечивающая непрерывный ток крови в организме, несущий клеткам питание и осуществляющий газообмен в них.
«Круговорот воды в природе»- это непрерывное циклическое перемещение воды в географической оболочке Земли, которое базируется на двух взаимосвязанных процессах: увлажнение земной поверхности и испарение из нее влаги в атмосферу.
Все перечисленные примеры устойчивых выражений и научных понятий имеют нечто общее, их объединяет слово «круг».
Причем можно заметить, что многие из них несут смысл цикличности (повторяемости), равенства, бесконечности.
Давайте выясним, что же такое окружность и круг с математической точки зрения.
Окружность- это замкнутая кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.
Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности.
Обозначается центр окружности обычно заглавной буквой О.
Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Чтобы получить полное представление о том, как выглядит окружность, можно обвести карандашом стакан или блюдце, или намочить водой край стакана и поставить его вверх дном, оставшийся след и будет окружностью.
Известно, что все окружающие нас тела имеют некоторый объем. Сама окружность не имеет объема и даже площади, однако окружность может являться математической моделью реальных объектов, например, обруча, кольца и т.д.
Круг— это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг- плоская геометрическая фигура.
Так как круг- это часть плоскости, то фигура имеет площадь.
Наглядно представить круг можно, закрасив внутреннюю область, ограниченную окружностью, или вырезав его из бумаги по контуру окружности.
Особенность формы круга и окружности заключается в том, что у данных фигур отсутствуют прямые линии, отрезки и углы.
В каждой точке окружность устроена одинаково и представляет собой бесконечную линию без начала и конца, будто движется непрерывно сама по себе.
Благодаря своей форме окружность и круг являются с древних времен символом бесконечности, цикличности, знаком единства и совершенства.
Движение по кругу выражает идею вечности, возвращение к самому себе, к первоначальному состоянию.
Так, например, циферблат часов и круговая шкала на компасе олицетворяют эту идею.
Окружность циферблата разделена на 12 равных больших деления, каждое такое деление равняется одному часу.
Между каждым большим делением находится по 5 маленьких делений. Итого по окружности равномерно распределены 60 делений, соответствующие минутам и секундам.
Стрелки, закрепленные в центре циферблата, вращаясь по кругу, указывают часы, минуты, секунды.
В античном мире время определяли по Солнцу.
Самыми первыми часами, по которым можно было определять примерное время, были солнечные часы.
Устройство представляло собой круг с начертанными по окружности делениями и наклонным стержнем в центре.
Время по таким часам определяли по положению тени на циферблате от наклонного стержня.
Циферблат располагали так, чтобы тень от стержня в полдень была направлена на север.
Тень перемещалась по циферблату вслед за Солнцем и меняла свою длину с каждым часом.
Солнечные часы работали при ясной погоде и днем, указывая время только в часах.
Круговую шкалу можно увидеть на другом измерительном приборе- компасе.
Компас- это устройство, которое позволяет ориентироваться на местности по магнитным полюсам Земного шара и сторонам света.
Шкала компаса представляет собой диск, на который нанесены по кругу метки и цифры.
Круговая шкала компаса называется лимб.
Магнитная стрелка, закрепленная в центре компаса, может свободно вращаться по кругу, поворачиваться в определенном направлении, реагируя на магнитное поле Земли.
Компас показывает неверные данные в том случае, если поблизости есть магниты или месторождения железа и другие подобные материалы, обладающие магнитными свойствами.
Считается, что компас был изобретен в 200 г. до н.э. в Китае.
В Европе компас появился гораздо позже, лишь в XII в. н.э.
Долгое время правила навигации по компасу было таинственно-загадочным для многих, а секрет использования прибора знали только избранные.
Окружность (круг) является моделью еще одного величайшего человеческого изобретения- колеса.
Все полезные свойства колеса основаны на геометрии окружности (круга).
Колесо- это устройство круглой формы, которое может вращаться вокруг своей оси.
До изобретения колеса люди волоком по земле перемещали грузы.
Чтобы облегчить эту работу, груз укладывали на бревна или деревянные полозья и запрягали в них животных.
При этом почву обильно поливали водой, облегчая тем самым скольжение.
Был хорошо известно, что перемещать круглые предметы по земле легче, чем тащить груз волоком или просто толкать его по земле.
Первые изобретенные колеса были сплошными, полностью состояли из глины и мели большой вес.
Использовали эти колеса в гончарном деле.
Позже такое колесо стали использовать для транспортировки груза, прикрепляя колесо к некоторой платформе.
Затем колесо стало деревянным (использовали срез бревна, позже применяли три доски, соединенные деревянной поперечиной).
Деревянные колеса быстро истирались, и их стали обивать металлическим ободом, но такие колеса были громоздкими и тяжелыми.
Чтобы облегчить колесо, в нем делали прорези.
В конечном счете колесо стало выглядеть как обод со спицами, сходящимися к центру колеса, обеспечивая тем самым прочность конструкции.
Вместо металлической оковы стали использовать резину для лучшей амортизации колеса.
Колеса претерпевали различные изменения. Совершенствуются они и по сей день, однако форма этого устройства в виде круга остается неизменной.
Изобретение колеса стало мощным толчком в развитии техники.
Колесо явилось основой для многих изобретений: мельницы, прялки, различных транспортных средств, зубчатого колеса и др.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации