Как называется основное уравнение теплопроводности

Теплопроводность

Из Википедии — свободной энциклопедии

Теплопрово́дность — способность материальных тел проводить энергию от более нагретых частей тела к менее нагретым частям тела путём хаотического движения частиц тела (атомов, молекул, электронов и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества.

Различают стационарный и нестационарный процессы теплопроводности в твердом теле. Стационарный процесс характеризуется неизменными во времени параметрами процесса. Такой процесс устанавливается при длительном поддержании температур теплообменивающихся сред на одном и том же уровне. Нестационарный процесс представляет собой неустановившийся тепловой процесс в телах и средах, характеризуемый изменением температуры в пространстве и во времени.

Теплопроводностью называется также количественная характеристика способности тела проводить тепло. В сравнении тепловых цепей с электрическими это аналог проводимости.

Количественно способность вещества проводить тепло характеризуется коэффициентом теплопроводности. Эта характеристика равна количеству теплоты, проходящему через однородный образец материала единичной длины и единичной площади за единицу времени при единичной разнице температур (1 К). В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения коэффициента теплопроводности является Вт/(м·K).

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием гипотетического теплорода от одного тела к другому. Однако с развитием молекулярно-кинетической теории явление теплопроводности получило своё объяснение на основе взаимодействия частиц вещества. Молекулы в более нагретых частях тела движутся быстрее и передают энергию посредством столкновений медленным частицам в более холодных частях тела.

Источник

Основное уравнение теплопередачи и уравнение теплового баланса

Теплопередача. Теплоотдача

Теплота от одной среды к другой может передаваться при непосредственном контакте или через стенку.

Жидкости или газы, участвующие в теплообмене, называются рабочими средами.

Связь между количеством теплоты передаваемым в аппарате и поверхностью теплообмена определяется основным кинетическим соотношением, которое называется о сновным уравнением теплопередачи:

(1)

— количество переданного тепла, Дж;

— локальный коэффициент теплопередачи между средами, ;

— разность температур между средами, 0 С;

— элемент поверхности теплообмена, м 2 ;

— время теплообмена, с

— коэффициент теплопередачи средний для всей поверхности, .

Физический смысл коэффициента теплопередачи:

Коэффициент теплопередачи показывает, какое количество теплоты в Дж переходит в 1с от более нагретого тела к менее нагретому через поверхность теплообмена в 1м 2 при средней разности температур равной 1 град. Коэффициент теплопередачи определяет интенсивность теплообмена. Из основного уравнения теплопередачи (1) можно определить поверхность теплопередачи . . (2)

определяется из уравнения теплового баланса:

(3)

— потоки тепла, которые поступают в аппарат с исходными продуктами;

— теплота реакций ( теплота химических превращений; испарение жидкостей; выделение паров или газов из твердых поглотителей; теплота плавления и растворения). Для определения этих теплот используют справочные данные.

— потоки тепла, которые выходят из аппарата с конечными продуктами;

— потери тепла в окружающую среду (» 3¸5%).

Закон Фурье (установлен опытным путем) – количество теплоты переданного теплопроводностью, прямо пропорционально градиенту температуры , времени и площади сечения , перпендикулярного направлению теплового потока:

, (4)

— коэффициент теплопроводности, Вт/м?град.

Плотность теплового потока . (5)

( ²-² означает что тепло перемещается в сторону падения температуры).

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Процесс распространения теплоты теплопроводностью математически описывается дифференциальным уравнением, выведенным на основе закона сохранения энергии.

; (6) –

,,— не изменяются по направлению и во времени.

или — Дифференциальное уравнение теплопроводности в неподвижной среде при стационарном тепловом режиме. Уравнения (6) и (7) дают возможность решать задачи связанные с распространением тепла в теле путем теплопроводности как при стационарном, так и при нестационарном тепловом режиме. При решении конкретных задач уравнения дополняются соответствующими начальными и граничными условиями.

Теплопроводность плоской стенки

В инженерной практике часто встречаются задачи стационарной теплопроводности через плоскую и цилиндрическую стенки. Это задачи расчета тепловой изоляции аппаратов и трубопроводов.

Вывод уравнения теплопроводности плоской стенки

Запишем уравнение Фурье в развернутом виде

При стационарном режиме температура в различных точках постоянна во времени, т.е

Температурное поле одномерно (плоская стенка) .

Т.о. уравнение Фурье приобретает вид: d 2 t/dx 2 =0.

Проинтегрируем дважды: dt/dx = C₁; t = C₁x+C₂. C₁ и С₂ найдем из условий на границе: х=0; х=d. При х=0 t_ст1=С₂, а при х=d t_ст2= C₁d+ t_ст1;

C₁= ( t_ст2— t_ст1)/d; В результате получим

Температура по толщине стенки х меняется линейно, температурный градиент сохраняет постоянное значение. Подставим полученное значение градиента температуры в (4)-з. Фурье и получим уравнение теплопроводности плоской стенки при стационарном тепловом режиме

Теплопроводность цилиндрической стенки (самост.)

В тепловых процессах одновременно с теплопроводностью и конвекцией почти всегда имеет место тепловое излучение, причем, чем выше температура тела, тем больше тепла оно передает в виде теплового излучения.

Тепловое излучение

— это процесс распространения энергии в форме электромагнитных волн.

Источник

уравнение теплопроводности. поток тепла. коэффициенты теплопроводности и температуропроводности. Начальное условие

ЧАСТЬ 2. ТЕПЛОМАССООБМЕН Тема 9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

9.1.Основные понятия и определения

Теория теплопередачи, или теплообмена, представляет собой учение о процессах распространения теплоты в пространстве с неоднородным полем температур.

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

Конвекция осуществляется путем перемещения в пространстве не­равномерно нагретых объемов среды. При этом перенос теплоты не­разрывно связан с переносом самой среды.

Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами.

Часто все способы переноса теплоты осуществляются совместно. Например, конвекция всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом неизбежно соприкосновение частиц, имеющих различные температуры.

Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом. Частным случаем конвективного теплообмена является теплоотдача — конвективный теплообмен между твердой стенкой и движущейся средой. Теплоотдача может сопровождаться тепловым излучением. В этом случае перенос теплоты осуществляется одновременно теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом вещества — массообменном, который проявляется в установлении равновесной концентрации вещества.

Совместное протекание процессов теплообмена и массообменна называетсятепломассообменном.

Теплопроводность определяется тепловым движением микрочастиц тела. В чистом виде явление теплопроводности наблюдается в твердых телах, неподвижных газах и жидкостях при условии невозможности возникновения в них конвективных токов.

Передача теплоты теплопроводностью связана с наличием разности температур тела. Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

(9.1)
где t — температура тела; х, у, z — координаты точки; τ — время. Такое температурное поле называется нестационарным и отвечает неустановившемуся режиму теплопроводности. Если температура тела не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным. Тогда

, (9.2)

Температура может быть функцией одной, двух и трех координат, соответственно температурное поле будет одно-, дву- и трехмерным. Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля:

; ;

Если соединить все точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Так как в определенной точке тела в данный момент времени может быть только одна температура, изотермические поверхности не пересекаются; все они либо замыкаются на себя, либо заканчиваются на границе тела. Пересечение изотермных поверхностей плоскостью дает на ней семейство изотерм. Интенсивность изменения температуры в каком-либо направлении характеризуется производной , принимающей наибольшее значение в направлении нормали к изотермической поверхности (9.3)

Вектор называется температурным градиентом и является мерой интенсивности изменения температуры в направлении по нормали к изотермной поверхности. Направлен он в сторону возрастания температуры.

Согласно гипотезе Фурье, количество теплоты d 2 Q_τ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту : (9.4)

Здесь множитель λ называется коэффициентом теплопроводности. Знак минус указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры. Количество теплоты, прошедшее в единицу времени через единицу изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока:

(9.5)

Проекции вектора q на координатные оси соответственно:

Уравнения (9.4) и (9.5) являются математическим выражением основного закона теплопроводности — закона Фурье.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком: (9.6)

Полное количество теплоты, прошедшее через эту поверхность за время τ, определится из уравнения (9.7)

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим его способность проводить теплоту. Коэффициент теплопроводности определяется из уравнения (9.4):

(9.8)

Численно коэффициент теплопроводности равен количеству теплоты, проходящему в единицу времени через единицу изотермической поверхности при условии gradt=1. Его размерность Вт/(м·К). Значения коэффициента теплопроводности для различных веществ определяются из справочных таблиц, построенных на основании экспериментальных данных. Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры приближенно можно выразить в виде линейной функции

(9.9)

где λ₀ — значение коэффициента теплопроводности при температуре t₀=0 0 С; b — постоянная, определяемая опытным путем.

Наихудшими проводниками теплоты являются газы. Коэффициент теплопроводности газов возрастает с увеличением температуры и составляет 0,006÷0,6 Вт/(м·К). Следует отметить, что верхнее значение относится к гелию и водороду, коэффициент теплопроводности которых в 5—10 раз больше, чем у других газов. Коэффициент теплопроводности воздуха при 0 0 С равен 0,0244 Вт/(м·К).

Для жидкости λ=0,07÷0,7 Вт/(м·К) и, как правило, уменьшается с увеличением температуры. Коэффициент теплопроводности воды с увеличением температуры возрастает до максимального значения 0,7 Вт/(м·К) при t=120 0 С и дальше уменьшается.

Наилучшими проводниками теплоты являются металлы, у которых λ=20÷418 Вт/(м·К). Самый теплопроводный металл — серебро. Для большинства металлов коэффициент теплопроводности убывает с возрастанием температуры, а также при наличии разного рода примесей. Поэтому коэффициент теплопроводности легированных сталей значительно ниже, чем чистого железа.

Материалы с λ 2 ·К). Коэф­фициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду, (9.14)

Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности:

Переписав последнее уравнение в виде:

(9.15)

получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.

9.4.3.Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме ( ) и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид: (9.16)

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

(9.17) Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

После второго интегрирования получаем (9.18)

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; приx=δ t=t_c2=С₁·δ+t_c1, отсюда . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки: (9.19)

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим (9.20)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

(9.21) Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину — термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λзависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК — количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени.

Т.П.количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени. РазмерностьТ. п. совпадает с размерностью мощности (См. Мощность). Т. п. измеряется в Ваттахили ккал/ч (1 вт = 0,86ккал/ч).Т. п., отнесённый к единице изотермической поверхности, называется плотностью Т. п., удельным Т.п. или тепловой нагрузкой; обозначается обычно q, измеряется в вт/м 2 или ккал/(м 2 ․ч). Плотность Т. п. —вектор, любая компонента которого численно равна количеству теплоты, передаваемой в единицу временичерез единицу площади, перпендикулярной к направлению взятой компоненты.

Температуропроводность (коэффициент температуропроводности) — физическая величина, характеризующая скорость изменения (выравнивания)температуры вещества в неравновесных тепловых процессах. Численно равна отношению теплопроводности к объёмной теплоёмкости при постоянномдавлении, в системе СИ измеряется в м²/с.

,

где — температуропроводность, — теплопроводность, — изобарная удельная теплоёмкость, ρ — плотность

Температуропроводность и теплопроводность являются двумя из наиболее важных параметров веществ и материалов, поскольку они описывают процесс переноса теплоты и изменение температуры в них.

Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Жидкости и газы обладают сравнительно малой температуропроводностью. Металлы, напротив, имеют бо́льший коэффициент температуропроводности.

Коэффициент температуропроводности в тепловых процессах характеризует скорость изменения температуры. [2]

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость выравнивания температуры ( тепловую инертность) тела и по аналогии с коэффициентом диффузии, с которым он имеет одинаковую размерность, иногда называется коэффициентом тепловой диффузии. [4]

Вывод уравнения теплопроводности:

Посмотреть определения потока и дивергенции векторного поля

1) Будем рассматривать процесс распространения тепла посредством теплопроводности (т.е. при непосредственном контакте областей с разной температурой).

2) Для теплообмена посредством теплопроводности необходимо наличие ненулевого температурного градиента, т.е. различные части тела должны иметь разную температуру. При этом, так как каждая система стремится к своему равновесному состоянию, происходит переток тепла от более «нагретых» частей тела к более «холодным».

3) Для математического описания полей тепловых потоков введем в рассмотрение вектор плотности теплового потока , имеющий направление от более «горячих» участков тела к более «холодным», а по величине равный количеству тепла, проходящему через единицу поверхности за единицу времени: .

5) Будем считать, что наше изучаемое тело изотропно, т.е. λ = λ(x,y,z) и не зависит от выбора нормали к поверхности; .

6) По определению потока для вектора можем записать .

При этом получим: если тело отдает тепло, то ; если получает, то . Условимся в дальнейшем для определенности считать поток теплаdQ_s, направленный внутрь тепла положительным. Для этого в определение потока введем знак «-» (минус). Тогда элементарный поток через поверхность dS за времяdt: , и через всю поверхность S, ограничивающую объем Sза время .

(1)

(2) .

8) В соответствии с 1 м началом термодинамики тепло, получаемое системой идет на изменение ее температуры и на совершение этой системой работы: Q = Cdu + δA. Будем считать, что δA= 0 (для твердых тел).

(3) — для объема V.

В наш выделенный объем тепло δQ поступает за счет 2 x механизмов: переноса тепла через поверхность, и возникновения тепла за счет работы источников).

Подставим (1), (2), (3):

Применим теорему о среднем значении (дважды: по t и по V) к каждому из этих интегралов:

(1) или

— уравнение теплопроводности.

(1a) , так как , то

(1б) — уравнение теплопроводности для однородной среды.

Если , то уравнение будет однородным.

Рассмотрим теперь дополнительные условия, необходимые для однозначного решения задачи:

а) Необходимо знать начальное распределение температуры:

б) Тепловой режим на границе. Основные виды тепловых режимов:

Разберем более подробно каждый из типов:

Для записи 1 го начала термодинамики (закон сохранении энергии):

;

;

;

.

при интегралы по V, а также интеграл по , при этом так как и .

Применяя дважды теорему о среднем (по t и по σ), устремляя , получаем:

(3б)

Если поверхность S теплоизолирована (ν = 0):

III. Будем считать, что теплообмен между телом и окружающей средой происходит по закону Ньютона: плотность теплового потока ν(P,t), получаемого из внешней среды, пропорциональна разности температуры окружающей среды θ(t) и температуры u внутри V вблизи поверхности S.

Таким образом, мы имеем случай II, где ν(P,t) имеем специфический вид (*), т.е. ;

(3в) .

В случае, если температура окружающей среды θ(t) = 0, получим однородное граничное условие 3 го рода: .

Таким образом, мы приходим к задаче: найти решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющее нормальным условиям (2) и одному из граничных условий (3). Совершенно аналогично ставятся задачи в одномерном и двумерном случаях. Для уравнения (1) можно также поставить задачу Коши (т.е. задачу без граничных условий)

Замечание: к уравнению (1) приводятся и другие физические задачи: уравнение диффузии, движение вязкой жидкости.

2.1. Метод разделения переменных для конечного стержня

Уравнение теплопроводности относится к уравнениям параболического типа.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

,

— температура стержня в точке в момент времени ,
— связано с коэффициентами теплоемкости и теплопроводности.

Рассмотрим однородный стержень длины , теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой (см. рисунок 1).

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Для задач этого типа задается только одно начальное условие, а именно, начальная температура в начальный момент времени. Итак,

.

(1)

,

(2) (3)

где -начальное распределение температуры в стержне.

Концы стержня закреплены в термостате. В данном случае тепловая энергя стержня не сохраняется, так как система не является изолированной.

Будем искать решение в виде произведения двух функций

где X(x)- функция только переменного x,
а T(t)- функция только переменного t.

(4) (5) (6)

Необходимо определить знак .

1 случай: Пусть .
Рассмотрим уравнение (4):
.
Характеристическое уравнение имеет вид:
.

Рассмотрим уравнение (5):
.
Характеристическое уравнение имеет вид:

.

(7)

Это решение не подходит, так как если ,то , а поэтому нарушается второй закон термодинамики, то есть происходит передача энергии от холодного к горячему. Докажем это математически, подставив начальные условия (6) в (7):

Значит или , но тогда мы получаем тривиальное решение и не можем удовлетворить начальным условиям. Следовательно, при уравнение (1) имеет только нулевое решение.

2 случай: Пусть , тогда

, следовательно, .
, следовательно, .
Подставим краевые условия
, получим .
В итоге получим нулевое решение , а значит не подходит.

3 случай: Пусть и , тогда

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Общее решение может быть записано в виде:

.

(8)

Подставим краевые условия.
.
Получаем

.

(9)

Существуют нетривиальные решения уравнения (5), равные

.

(10)

Этим значениям соответствуют решения уравнения (4)
,
где — неопределенный пока коэффициент.

— общее решение.

Удовлетворим начальным условиям (2):
.
Для выполнения этого начального условия необходимо взять в качестве коэффициент Фурье:

.
Для получения ответа необходимо подставить указанный коэффициент в общее решение задачи.

Уравнение теплопроводности для бесконечного стержня

Рассмотрим задачу с начальными данными на бесконечной прямой. А именно, найдем ограниченную функцию, определенную в области , удовлетворяющую уравнению теплопроводности

и начальному условию

где функция задает начальное распределение температуры.

Сделаем преобразование Фурье по переменной от уравнения и начального условия

.

Чтобы получить итоговое решение, нужно провести обратное преобразование Фурье

.

Тогда общее решение имеет вид

— функция Грина для уравнения теплопроводности.

— общее решение (стандартный вид).

Эта функция дает решение уравнения теплопроводности с заданным начальным условием.

Источник