Как называется множество всех чисел

Обозначение, запись и изображение числовых множеств

Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.

Запись числовых множеств

N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.

Напомним также следующие обозначения:

Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.

Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.

Изображение числовых множеств на координатной прямой

В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.

Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:

Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)

Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.

Источник

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.

А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = , а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;

сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Источник

Числовые множества

ЕГЭ по математике — экзамен чисто практический. Однако знания о том, какие бывают числа, необходимы при решении многих задач.

Натуральные числа — это числа, применяемые для счёта предметов. Натуральные числа можно использовать в качестве номеров.

Наименьшее натуральное число — единица¹. Числа 21, 249, 30988 являются натуральными. Все вместе они составляют множество натуральных чисел, обозначаемое буквой N:

Что же такое множество? Это одно из первичных понятий математики, т. е. таких, которые лежат в основе логической системы и уже не определяются через другие понятия. Интуитивно мы понимаем, что множество — это набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами. Множество натуральных чисел мы можем условно изобразить вот так:

Но числа бывают не только натуральными. Индийцы изобрели число ноль и отрицательные числа. Теперь они для нас привычны, но когда-то европейцы — древние греки и римляне — долгое время обходились без нуля. Сейчас нам трудно это представить.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль вместе составляют множество целых чисел, которое обозначается Z :

Например, получая в тригонометрическом уравнении серию решений, мы пишем: n ∈ Z, и это означает, что n — целое число.

Очевидно, множество целых чисел включает в себя множество натуральных:

Кроме целых чисел, однако, имеются ещё и дроби.

Стало быть, целые числа — частный случай дробей.

Долгое время — в античности — считалось, что любое число можно записать в виде дроби с числителем и знаменателем. Дело в том, что для древних греков числа и их соотношения были почти священны. Пифагорейцы говорили: «Числа правят миром». Они верили, что все основные принципы мироздания можно выразить языком математики, что соотношения чисел выражают гармонию, закон и порядок природы, перед которым склоняют голову даже олимпийские боги. Греческое искусство, особенно архитектура, подчинялось правилам, канонам. Греки точно установили, какими должны быть пропорции в архитектуре — например, отношение диаметра колонны к её длине — чтобы здание было гармоничным. И все эти пропорции были отношениями целых чисел.

Ещё раз повторим, в чём разница между рациональными и иррациональными числами.

7 : 11 = 0,636363636363.

Мы видим, что цифры повторяются, то есть дробь является периодической. Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечной или бесконечной периодической.

А вот в числе цифры не заканчиваются, и никакой периодичности их следования не наблюдается. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби.

Вместе оба множества — рациональных и иррациональных чисел — образуют множество действительных (или вещественных) чисел, которое обозначается R (от слова real).

Возникает вопрос: это всё? Все ли числа, какие только могут быть, содержатся в множестве действительных чисел? Или за его пределами ещё что-то есть?

Для успешной сдачи ЕГЭ других чисел не нужно. Да и, казалось бы, мы назвали все возможные числа. Но вот какой парадокс: положительные и отрицательные числа симметрично расположены на числовой прямой, верно? И при этом из положительных чисел можно извлечь квадратный корень, а из отрицательных — нельзя! Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат даёт −1.

Оказывается, однако, что существует числовое множество, содержащее в себе множество R и бесконечное множество других чисел, не являющихся действительными. В этом множестве находится мнимая единица i, для которой верно i² = −1. И называется оно множеством комплексных чисел.

Комплексные числа служат естественным языком описания многих физических явлений. Те из вас, кто выбрал инженерную специальность (в особенности связанную с распространением волн, электротехникой и радиофизикой), непременно встретятся с ними. В отличие от действительных («вещественных») чисел, применяемых для описания материального, плотного мира «вещей», комплексные числа оказываются удобным инструментом для построения математических моделей волн и колебаний всевозможной природы.

Ну а будущим физикам наверняка интересно будет узнать, что элементарные частицы живут и взаимодействуют по законам именно комплексных чисел. Наукой, описывающей комплексный микромир, является квантовая физика.

¹ В школьной математике ноль не является натуральным числом. Мы ведь не используем его для счёта предметов. Ну какой здравомыслящий человек скажет: «На столе стоит ноль чашек»? 🙂

Источник

Содержание:

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление.

Наиболее распространенные числовые множества:

Основные понятия о числовых множествах

Множество всех рациональных чисел является счетным множеством. Счетным является множество всех точек плоскости (пространства) имеющих рациональные координаты.

Множество всех действительных чисел является несчетным: оно имеет мощность, называемую континуумом.

Некоторое непустое подмножество А множества действительных чисел называют ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число К такое, что

Всякое число К с указанным свойством называют верхней (нижней) гранью множества А.

Непустое подмножество А множества действительных чисел называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу.

В противоположность этому определению, множество А называется неограниченным сверху (снизу), если какое бы число К мы бы не предложили в качестве верхней (нижней) границы множества А, всегда найдется элемент этого множества, который будет больше (меньше) К.

Множество, неограниченное как сверху, так и снизу, называется неограниченным множеством.

Наименьшую из верхних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной верхней гранью этого множества и обозначают sup А. Наибольшую из нижних граней непустого подмножества множества действительных чисел А называют точной нижней гранью этого множества и обозначают inf А. Символы sup и inf являются сокращениями от supremum (самый верхний) и infimum (самый нижний).

Примем без доказательства утверждение о том, что всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Граничной точкой множества называется точка, у которой в любом содержащем ее открытом промежутке найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Сама граничная точка может, как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Соединения. Бином Ньютона

Рассмотрим совокупность n различных элементов. Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов:

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из п элементов поназывают их соединения, каждое из которых содержит ровно m различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из n элементов по m.

Соединения из n элементов, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями из n элементов по называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно m данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них m! возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из n элементов по m:

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты С»‘ с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.

Комплексные числа

Действительное число а называется действительной частью комплексного числа — мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числа будут равны тогда и только тогда, когда При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю . Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием: .

Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве С можно задать следующим образом:

Учитывая, что через i обозначен корень уравнения т.е. или , можно определить умножение комплексных чисел:

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , при возведении i в любую натуральную степень n, надо найти остаток от деления n на 4 и возвести i в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа обратным будет число

Выражение запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число а можно записать в виде .

Число а-b называется сопряженным числу z = a + bi и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

Число называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа a + bi. Очевидно, что

Свойства сопряжения:

Каждому комплексному числу z = a + bi поставим в соответствие точку Z плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа а и b.

Тогда каждой точке Z(a,b) плоскости будет соответствовать единственное комплексное число a + bi. В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел С и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число a + bi с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты (a,b). При этом точки горизонтальной координатной оси Re изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси Im откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось Im называется мнимой осью.

Расстояние от точки Z до начала координат есть действительное неотрицательное число р, которое называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается \z\ = p. Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z называется аргументом z и обозначается arg z. Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть z = a + bi. Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа z находится

по формуле Аргумент числа z определяется из равенств

(3.1)

Запись числа z в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

Пусть z и — сопряженные числа. Если z = а + bi, то = a- bi. Геометрически z и являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей. Аналогично,

(3 4)

При вsполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например, не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число

называется корнем n-й степени из z, если

, т.е.:

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому или (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до

. Следовательно,

Придавая А- различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно, k можно записать в виде k = nq + t, где . Тогда:

Т.е. значение аргумента при данном к отличается от значения аргумента при k = t на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях к получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Пример:

Вычислить

Решение:

Представим число, стоящее под знаком корня, в тригонометрической форме:

Извлечем далее корень третьей степени из этого комплексного числа:

Отсюда полагая, что k = 0,1,2, получим:

Числовые множества и форма их представления

Множество, элементы которого являются действительными числами называется числовым множеством. В основном, числовые множества задаются в виде неравенств или в виде промежутков. Множество всех действительных чисел обозначается как

Пример:

Изобразите на координатой прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству. Запишите в виде промежутков.

Свойства объединения и пересечения числовых множеств

Некоторые свойства пересечения и объединения множеств подобны переместительным, сочетательным и распределительным свойствам сложения и умножения чисел.

Верные для множеств равенства, соответствующие свойствам для чисел не всегда верны.

Пример:

Графиком функции называется кубическая парабола.

Поэтому график функции проходит через начало координат и расположен в I и III четвертях. Если значение заменить его противоположным значением , тогда функция будет принимать противоположное значение: т.к. , то . Значит, каждой точке графика функции соответствует точка , симметричная относительно начала координат на данном графике. Таким образом, график функции симметричен относительно начало координат. По графику видно, что число , куб которого равен данному числу — единственное.

Свойства числовых множеств

Ограниченные числовые множества

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

∃ a ∈ : x a, ∀x ∈ X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение граниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множество X называют ограниченным, если существует такое положительное число M, что

|x| M, ∀x ∈ X.

Определение 1.28. Элемент a из числового множества X называют максимальным (минимальным) элементом в X, если x a (соответственно, x > a) для любого x из X, и пишут: a = max X (соответственно, a = min X).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Замечание. Любое числовое множество, содержащее конечное число элементов, имеет максимальный и минимальный элементы.

Теорема 1.2 (принцип полноты Вейерштрасса). Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то существует число, которое является наименьшей верхней (соответственно, наибольшей нижней) границей этого множества, и это число единственно.

∃ c ∈ : x c y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.

Определение 1.29. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Наименьшую из верхних границ множества X называют точной верхней границей или верхней гранью множества X и обозначают sup X (читают «супремум X») или sup x.

Итак, sup X = min| x c, ∀x ∈ X> и потому определение 1.29 равносильно следующему.

1. x a, ∀x ∈ X ;

С учетом определения 1.29 принцип полноты множества R в смысле Вейер-штрасса формулируется следующим образом:

Теорема 1.3. Непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, притом единственную, точную верхнюю границу.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества.

Определение 1.31. Пусть X ⊂ , X , ограничено снизу. Наибольшую из его нижних границ называют точной нижней границей или нижней гранью множества X и обозначают inf X (читают «инфимум X») или .

Характеристическими свойствами a = inf X, a ∈ , являются:

1) a x, ∀x ∈ X ; 2) ∀ε > 0 ∃ xε ∈ X : xε a + ε.

Лемма 1.2. Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то a = sup X (соответственно a = inf X).

Следовательно, по определению 1.30 a = sup X.

Пример 1.6. Найти sup X, если X = [0, 1).

Неограниченные числовые множества

Определение 1.32. Если непустое числовое множество не является ограниченным сверху (снизу), то его называют неограниченным сверху (снизу).В символьной форме это определение принимает вид:

X ⊂ , X не ограничено сверху ⇒ ∀a ∈ ∃ x ∈ X : x>a.

В случае, если числовое множество X не ограничено сверху считают, что его точная верхняя граница равна +∞.

Из сказанного и теоремы 1.2 вытекает следующий результат.

Теорема 1.5. Непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества Z имеет максимальный (минимальный) элемент.

Теорема 1.6. Бесконечное подмножество натуральных чисел не ограничено сверху.

Теорема 1.7 (принцип Архимеда). Для любого числа a и любого положительного числа b найдется единственное целое число n₀ такое, что (n₀-1)b a n₀b.

Следствие 1. Для любого числа x ∈ существует единственное число k ∈ такое, что (достаточно в теореме положить b = 1). Такое число k называют целой частью числа x и обозначают через [x] или E (x).

Следствие 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0 1/n ε.

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n ∈ , что n > 1∕ε. Поскольку ε > 0, то n ∈ и 0 1/n ε.

Теорема 1.8 (о плотности в ). Для любых чисел a, b ∈ , a b, найдется рациональное число r такое, что a r b.

Число b — a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n₀ такое, что 0 1∕n₀ b—a. Далее, по принципу Архимеда по числу a и 1∕n₀ > 0 найдется m0 ∈ :

Докажем, что рациональное число m₀∕n₀ — искомое. Действительно,

Отсюда, a m_o∕n_o b.

Счетные и несчетные множества

При изучении множеств приходится по некоторым правилам сравнивать их между собой по запасу элементов. Изложим одно такое правило.

Пусть n — натуральное число, а N_n = : k n>. Множество X называют конечным, если существует такое n ∈ , что между множествами X и N_n можно установить биективное отображение, в противном случае множество X называют бесконечным.

Пример 1.7. Множество X натуральных четных чисел счетно, поскольку функция f : → X, f(n) = 2n, является биекцией.

Пример 1.8. Множество целых чисел счетно. В этом случае биективное отображение f : N → , f(n) = (-1)n-1 [n/2], позволяет пронумеровать элементы множества следующим образом:

Теорема 1.9. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

В результате получим множество Y = >, которое является счетным, так как при

Теорема 1.10. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств есть счетное множество.

Пронумеруем элементы множества A следующим образом:

Следствие. Множество рациональных чисел счетно.

Множество рациональных чисел определяется следующим образом:

Расположим рациональные числа в таблицу. Сначала в первую строку поместим все целые числа в порядке не убывания их абсолютных величин и так, что за каждым натуральным числом следует ему противоположное:

Во вторую строку поместим все несократимые рациональные числа со знаменателем 2 в порядке не убывания их абсолютных величин, причем вслед за каждым положительным числом следует ему противоположное:

Аналогично, в n-ую строку выпишем все несократимые рациональные числа со знаменателем n, упорядоченные по абсолютной величине и вслед за каждым положительным числом вписано ему противоположное. В результате получим таблицу всех рациональных чисел, состоящую из счетного множества строк, каждая из которых содержит счетное множество элементов. При этом среди выписанных элементов нет одинаковых. По теореме 8 множество счетно.

Определение 1.34. Конечные и счетные множества называют не более чем счетными.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник