что такое теорема ферма и доказана ли она
Теорема Ферма для чайников? Не бойтесь, это не больно.
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства.
1. Почему она так знаменита?
Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство — даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго.
2. В чем же она состоит? Начнем с пифагоровых штанов
Формулировка действительно проста — на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны».
Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно:
Теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Замечательно. Ну и так далее.
Так вот, оказывается, что их НЕТ.
Вот тут начинается подвох. Простота — кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.
Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? Легко: бац — а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен.
А как доказать отсутствие? Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
3. История: более 350 лет поиска решений
Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить:
Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, и так далее. 
Доказательство самого Ферма для случая <\displaystyle n=4>n=4 в сорок пятом комментарии к «Арифметике» Диофанта
Фото: ru.wikipedia.org
Но все это были частные случаи, а не универсальное доказательство для ВСЕХ ЧИСЕЛ.
Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков, и эти усилия привели к получению многих результатов современной теории чисел.
Считается, что Великая теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств. Многие начинающие математики считали своим долгом подступиться к Великой теореме, но доказать ее все никак не удавалось.
Сначала не удавалось сто лет. Потом еще сто. Среди математиков стал развиваться массовый синдром: «Как же так? Ферма доказал, а я что, не смогу, что ли?», и некоторые из них на этой почве свихнулись в полном смысле этого слова.
Некоторые пытались прославиться от обратного: доказать, что она не верна. А для этого, как мы говорили, достаточно просто-напросто привести пример: вот три числа, одно в кубе плюс второе в кубе — равно третьему в кубе. И они искали такие тройки чисел. Но безуспешно… И никакие компьютеры, ни с каким быстродействием, никогда не смогли бы ни проверить теорему, ни опровергнуть ее, ведь все переменные этого уравнения (в том числе и показатели степени) могут возрастать до бесконечности.
4. Наконец-то!
Наконец 23 июня 1993 года в Кембридже состоялась самая важная лекция по математике в ХХ веке. Лектором был Эндрю Уайлс, англичанин, профессор Принстонского университета. Эндрю Уайлс продемонстрировал ученым полное доказательство Великой теоремы Ферма.
Он шел к этому 30 лет, буквально с десятилетнего возраста. Его доказательство потом еще было уточнено и усовершенствовано в 1995 году, но самое главное — Великая теорема была доказана!
На это человечеству понадобилось 358 лет. Для доказательства была применена «самая высшая» и самая современная математическая наука. Поэтому изложить это доказательство в рамках заметочки никак нельзя, и читателям придется поверить на слово мне, математикам Кембриджа и Принстона и так далее.
Это доказательство закрыло сразу две страницы истории: 350-летний поиск доказательств Великой теоремы и бесконечные нашествия ферматистов на все математические кафедры всех университетов и институтов в мире.
5. Кто такие ферматисты?
Как сказано выше, формулировка Великой теоремы очень проста и понятна, поэтому есть стойкая иллюзия, что и доказательство ее также должно быть простым, понятным и вкладываться в знания алгебры в объеме 5−6 классов. Это породило неисчислимые толпы фанатиков, называемых ферматистами, которые пытались ее доказать, думали, что доказали, и атаковали кафедры и отдельных ученых с исписанными тетрадками в клеточку наперевес. Как все фанатики, они нетерпимы к критике, полны намерений снести все преграды и страшно самоуверенны. Обычно их толстые труды сразу выбрасывают или дают студентам кафедры теории чисел для поиска ошибки в качестве упражнения. 
Фото: francis.naukas.com
Как правило, все доказательства сводятся к нехитрым алгебраическим преобразованиям: там прибавил, тут вычел, возвел все в квадрат, извлек квадратный корень, свернул по формулам сокращенного умножения, применил бином Ньютона — и вот оно, доказал.
Интересно, что бОльшая часть доморощенных ферматистов даже не понимает сути теоремы — они доказывают не то, что уравнение с показателями степени больше 2 не имеет целых решений, а просто пытаются доказать, что х в степени N + y в степени N равно z в степени N, что, как вы уже, я надеюсь, понимаете, лишено всяческого смысла.
И ведь доказывают! Ошибка, как правило, возникает при очередном возведении уравнения в квадрат и последующем извлечении корня. Казалось бы: возвели в квадрат, потом извлекли корень — так на так и получится, но они всегда забывают о том, что х в квадрате и (минус х) в квадрате равны. Это элементарно, Ватсон!
Кафедры отбивались, как могли.
Учёный секретарь одного из московских академических институтов, не избежавшего нашествия ферматистов, однажды был в отпуске в Молдавии и на рынке купил какую-то снедь, которую ему завернули в местную газету.
Вернувшись с рынка, он стал просматривать этот листок и наткнулся на заметку, в которой сообщалось, что местный школьный учитель доказал теорему Ферма, и, как следствие, пелись всякие дифирамбы высокому уровню областной науки.
Учёный секретарь вырезал эту заметку, а по возвращении в Москву вставил её в рамку и повесил на стену своего кабинета. Теперь, когда на него «нападал» очередной ферматист, он широким жестом приглашал того ознакомиться с «текущим положением дел». Жизнь явно стала легче. (Саймон СИНГХ, «ВТФ»).
Я думаю, после всего, что между нами было, читатели уже смогут оценить попавшуюся мне как-то на кафедре в куче таких рукописей, тетрадок и бандеролей телеграмму:
ДОКАЗАЛ ТЕОРЕМУ ФЕРМА ТЧК ИКС СТЕПЕНИ Н ПЛЮС ИГРЕК СТЕПЕНИ Н РАВНО ЗЕТ СТЕПЕНИ Н ТЧК. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДВТЧ ПЕРЕНОСИМ ИГРЕК СТЕПЕНИ Н ПРАВУЮ ЧАСТЬ ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПИСЬМОМ
Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях
В течение десятилетий, прошедших после появления знакового доказательства великой теоремы Ферма, появилось несколько идей по поводу того, как сделать его ещё более надёжным. Однако эти попытки отражают глубокое непонимание того, что делает доказательство важным.
23 июня исполнилось 25 лет с момента взбудоражившего всех объявления от Эндрю Уайлса, в котором он заявил о получении доказательства великой теоремы Ферма – наиболее известной в математике задачи возрастом 350 лет. История, окружающая доказательство Уайлса – семь лет он тайно работал над этим проектом, разрыв в доказательстве, обнаружившийся после июньского объявления, элегантное решение, опубликованное год спустя в совместной работе, написанной Уайлсом вместе с его бывшим студентом Ричардом Тэйлором, получение рыцарского звания в 2000 – вошло в анналы математических легенд.
После прорыва Уайлса часто можно услышать рассуждения о наступлении новой «золотой эры» в математике, особенно в теории чисел – области, к которой и принадлежит теорема Ферма. Методы, представленные Уайлсом и Тейлором, сегодня являются частью инструментария специалистов по теории чисел, считающих историю Великой теоремы закрытой. Но эта история тронула не только специалистов по теории чисел.
Мне неожиданно напомнили об этом события 2017 года, когда в промежуток из нескольких дней два логика, делавших доклад на двух разных континентах, указали на способы улучшения доказательства Теоремы – и рассказали о том, насколько удивились их коллеги, когда специалисты по теории чисел не выказали к их идеям никакого интереса.
Логики выражали эти идеи на языках своих соответствующих специальностей – теории множеств и теоретической информатики. Сделанные ими предложения по сути своей были истинными, и, возможно, когда-нибудь поднимут новые вопросы, не менее интересные, чем у Ферма. Однако мне сразу же стало ясно, что эти вопросы не имеют отношения к специалистам по теории чисел, и любые иные предположения отражают глубокое непонимание природы доказательства Уайлса и целей теории чисел в целом.
Корни этого непонимания можно обнаружить в простоте утверждения Теоремы, которая и отвечает за большую часть её привлекательности: если n – любое положительное целое число, большее 2, то невозможно найти три таких положительных числа, a, b и c, что:
Однако математики никогда не записывают доказательства таким способом. Логический анализ доказательства Уайлса указывает на множество шагов, не учитывающих ZFC, тая в себе потенциал для скандала: если математики придумывают правила, не проверяя их на конституционность, откуда они знают, что все они имеют в виду одно и то же?
Автоматическая проверка доказательств, кажется, предлагает решение этой проблемы. Она подразумевает переформулировку доказательства через набор раздельных заявлений, каждое из которых записано непротиворечивым языком, который компьютер может считать, а затем и подтвердить конституционную верность каждого шага. Этот трудоёмкий метод с успехом применялся ко многим длинным и сложным доказательствам, наиболее известное из которых – доказательство гипотезы Кеплера о наиплотнейшей упаковке сфер, сделанное Томасом Хейлсом. Проверка доказательства Уайлса давно считалась одной из главных целей. Поэтому мой друг, специалист по информатике, был искренне разочарован, что поиски «чистых математиков, безапелляционно поддерживающих использование автоматических инструментов в построении их аргументов», как он это сформулировал, пока не дают результатов.
«Арифметика» Диофанта издания 1670 года, в котором в основной текст включена и печально известная заметка Ферма. В переводе она звучит так: «Кубу невозможно быть суммой двух кубов, четвёртой степени невозможно быть суммой двух четвёртых степеней, или, в общем, любому числу, представляющему собою степень, большую второй, невозможно быть суммой двух таких же степеней. Я открыл воистину чудесное доказательство этого предположения, для размещения которого здесь эти поля слишком узки».
Первое, что не учитывает это разочарование — что доказательство Уайлса, пусть сложное, имеет простую основу, которую легко объяснить обывательской аудитории. Допустим, что, в противоречие с утверждением Ферма, существует тройка положительных целых чисел a, b, c таких, что
для некоего нечётного простого p (а достаточно рассматривать только простые числа). В 1985 году Герхард Фрей показал, что a, b и c можно перегруппировать в
(B) новое уравнение, под названием «эллиптическая кривая»
со свойствами, которые, как все считали, невозможны. Точнее говоря, уже давно было известно, как выразить эту эллиптическую кривую через
(С) представление Галуа
которое является бесконечным набором уравнений, связанных как с эллиптической кривой, так и друг с другом чёткими правилами.
Связь между этими шагами была хорошо известна в 1985 году. К тому времени большинство специалистов по теории чисел были убеждены – хотя доказательства пока не было – что каждому представлению Галуа можно назначить, опять-таки, по чётким правилам,
(D) модулярную функцию,
что-то вроде двумерного обобщения знакомых из тригонометрии функций синуса и косинуса.
Итоговое звено было получено, когда Кен Рибет подтвердил предположение Жан-Пьера Сера о том, что свойства модулярной функции, заданные формой эллиптической кривой Фрея, подразумевают существование
(E) ещё одной модулярной функции веса 2 и уровня 2.
Однако таких функций существовать не может. Следовательно, не существует ни модулярной функции (D), ни представления Галуа (С), ни уравнения (B), ни решения (A).
Оставалось лишь найти отсутствующее звено между (С) and (D), которое математики назвали гипотезой модулярности.
Это звено было объектом семилетних поисков Уайлса. С нашей текущей точки зрения тяжело в полной мере оценить отважность этого рискованного предприятия. Через двадцать лет после того, как Ютака Танияма и Горо Шимура в 1950-х впервые сообщили о связи между (B) и (D) через (С), математики постепенно пришли к выводу, что это должно быть так. Именно эту надежду высказал в очень популярной работе Андре Вейл, которая идеально вписалась в крайне влиятельную программу Ленглендса, названную в честь канадского математика Роберта Ленглендса. Эта связь была слишком хорошей для того, чтобы не быть правдой. Однако гипотеза модулярности казалась совершенно недостижимой. Объекты типов (С) и (D) были слишком разными.
Специалист по информатике не пояснил, связано ли его разочарование с тем, что специалистам по теории чисел было неважно, что доказательство было ограничено поисками критически важного звена между (С) и (D), или что оно простиралось на всём промежутке от (A) до (E). Не буду пытаться разобраться в этом. Но если логикам нужно было только формально подтвердить опубликованное доказательство связи между (С) и (D), то их ожидания были слишком завышенными. Во-первых, Уайлс доказал лишь чуть более, чем достаточно для того, чтобы гипотеза модулярности завершала дедукцию «от (A) до (E)». Полную гипотезу модулярности установили несколько лет спустя Кристоф Бройль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тэйлор. Но это не бросает тень на работу Уайлса! Наоборот, то, что такое большое количество ведущих мировых специалистов по теории чисел пошли по стопам работы Уайлса всего через несколько месяцев после её появления, говорит о её богатстве.
К примеру, чуть позже, осенью 2016 года, 10 математиков встретились в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси, и смогли доказать наличие связи между эллиптическими кривыми и модулярными функциями в новых условиях. Все они использовали разные пути для понимания структуры доказательства Уайлса, появившегося, когда некоторые из них ещё были детьми. Если бы их попросили описать это доказательство в виде последовательности логических выводов, они, несомненно, выдали бы 10 разных его вариантов. Каждый из них напоминал бы путь от (A) до (E), описанный выше, но был бы гораздо более детальным.
Тем не менее – и это всегда упускают из философского взгляда на доказательства – каждый из этих десяти приписал бы авторство своего доказательства Уайлсу. Они бы ссылались на них тем же образом, что и на другие доказательства, изучаемые ими в разъяснительных статьях или на учебных курсах, которые они посещали или которые преподавали. И хотя каждый из десяти опустил бы какие-нибудь детали, в целом все они были бы правы.
Что же такое доказательства Уайлса, если оно может иметь так много разных вариантов? В математической философии принято относиться к опубликованному доказательству, как к приближению к идеальному формализованному доказательству, которое в принципе можно проверить на компьютере, применяющем правила формальной системы. Идеальное доказательство не загрязняется ничем, что находится за пределами формальной системы – так, будто бы каждый закон нёс на себе метку, подтверждающую его конституциональную оправданность.
Но такой подход противоречит тому, что сами математики говорят о своих доказательствах. Математики не применяют идеологических или философских лакмусовых тестов, но я убеждён, что большинство моих коллег согласятся с Майклом Фрэнсисом Атья, заявившим, что доказательство – «это итоговая проверка, но не основа чего-либо». Опубликованное доказательство явно не является основой чего-либо.
Уайлс и специалисты по теории чисел, уточнявшие и расширявшие его идеи, несомненно не ожидали получить предложения от двух логиков. Но – в отличие от многих людей, наблюдающих за теорией чисел издалека – они определённо понимали, что к такому доказательству, как к тому, что опубликовал Уайлс, не стоит относиться, как к некоему артефакту в себе. Наоборот, доказательство Уайлса – это стартовая точка открытого диалога, который является слишком неуловимым и живым, чтобы ограничивать его серьёзными пределами, чуждыми данной теме.
Загадка теоремы адвоката Пьера Ферма: её решали три века и доказали только в 1994 году
О великой загадке Ферма, теореме, которую легко сформулировать и трудно доказать, рассказывают еще в школе. Ферма создал аналитическую геометрию (и привнес в нее алгебраические методы — интегрирование, к примеру), много сделал для теории чисел, но при этом работал юристом и адвокатом, предаваясь увлечению математикой на досуге. Его работы не были опубликованы при жизни. О том, как это получилось, — в нашей истории к 420-летнему юбилею Пьера Ферма.
Юрист с хобби
16 августа 1601 года во Франции, близ Тулузы, в гасконском городке Бомон-де-Ломань, около Монтобана на Тарне, притока Гаронны, у советника Доминика Ферма и его жены Франсуазы родился сын. Советник Ферма был уважаемым и зажиточным человеком, торговцем кожей, но сына захотел выучить в университете: для этого Пьера отправили в Тулузу изучать право. После Тулузы он учился в Бордо и Орлеане и только в 30 лет выпустился из университета адвокатом, но решил перейти на государственную службу и в 1631 году стал советником кассационной палаты Тулузского парламента — проще говоря, принимал прошения от населения. В том же году он женился на дочери советника кассационной палаты Луизе де Лонг и всю жизнь (счастливо или нет) провел в этой должности. У Ферма было пятеро детей, и спокойная провинциальная жизнь способствовала размеренным занятиям — юрист увлекался языками (он был полиглотом) и математикой; спорил с Декартом (о неверном методе решения задач, такт и вежливость Ферма привели спор к дружественному завершению) и приятельствовал с Паскалем.
Мир многим обязан старшему сыну Ферма, Клеману-Самуэлю: он издал в 1670-м собрание работ Пьера де Ферма (письма и статьи). Классическое собрание сочинений Ферма в трех томах издано специалистом по истории математики Полем Таннери в Париже в 1896-м.
Мы не знаем — за давностью лет — всех подробностей его бедной на внешние события жизни, но след, оставленный им в математике, таков, что интерес к маленькому чиновнику тулузского органа исполнительной власти, служащему кассационной палаты, не утихает и сегодня. Сравните его с небольшим чиновником современной адвокатской конторы, вообразите состоящим в переписке с лучшими математиками своего времени, и вам хоть отчасти станет понятна личность Пьера Ферма, интриговавшая современников. Пунктами его биографии были открытия, им сделанные.
Интуиция гения
В свободное от работы время Ферма занимался математикой и переписывался с ведущими учеными своего времени. Он был талантлив и обладал научной интуицией: его занимали самые важные вопросы современной науки. Казалось бы, провинциальный адвокат-любитель, чего от него ждать, но с ним состояли в переписке оба Паскаля, Декарт, Кавальери, Торричелли, Гюйгенс.
Ферма работал в разных отраслях математики: ему принадлежат открытия в аналитической геометрии, теории чисел, анализе. Он много сделал для интегрального вычисления: как и Кеплер, он представлял фигуру состоящей из небольших элементов, чтобы каждый можно было приближенно приравнять к фигуре с известной площадью, например треугольнику.
Благодаря своим озарениям Ферма сводил вычисление площади фигуры к задаче алгебраической, к суммированию геометрической прогрессии. Например, как, по Ферма, найти квадратуру гиперболы? Площадь ее стоит мысленно разделить на узкие прямоугольные полосы, а их можно представить прямоугольниками. Площади многоугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, и задача состоит в том, чтобы найти сумму прогрессии — как видите, чисто алгебраический прием. Интересно, что алгебра в те времена слыла математикой второго сорта, подручным средством для нужд математиков, вынужденных обращаться к бытовым вещам, но, по сути, способы Ферма переводят геометрическую задачу на аналитический язык.
Ферма нашел способ находить максимум и минимум функции, то есть предварил дифференциальное исчисление, открытое Ньютоном. Сам Ньютон писал, что работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.
Однако именно Ферма принадлежит создание теории чисел
«Арифметика» Диофанта, изданная в 1621 году во Франции, была настольной книгой Ферма, который внимательно читал и комментировал ее; и заметки на полях Диофанта показывают интуицию гения Ферма и особенности его индукции. Кроме того, Ферма любил сложные арифметические задачи и делился ими с современниками: от магических квадратов и кубов до арифметических теорем.
Тогда же он обнаружил, что
Это открытие получило название малой теоремы Ферма. Сам Ферма в заметках на полях «Арифметики» Диофанта часто оставлял свои догадки без доказательств. Первым математиком, нашедшим доказательство, был Лейбниц, из рукописей которого следует, что открытие сделано до 1683 года, но не опубликовано, так что первое доказательство малой теоремы в 1736 году обнародовал Леонард Эйлер.
Эйлер доказал (1749) ещё одну теорему, сегодня известную как теорему Ферма — Эйлера: доказательство стоило ему 7 лет трудов; сам Ферма доказал ее изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска», опубликованным в 1879 году; тем не менее Эйлер понял принцип по замечаниям в письмах Ферма и успешно его применял.
Но самое знаменитое озарение тулузского любителя математики— Великая теорема Ферма.
Великая — и нерешаемая?
Это самая популярная теорема математики. Её условие просто и может быть понято школьником, но доказательство искали более трёхсот лет и нашли только в 1994 году.
Теорема прославила тулузского юриста. В 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта он написал, что для любого натурального числа n >2 уравнение
не имеет решений в целых ненулевых числах а, b, с.
Снизу Пьер де Ферма приписал, что найденное им доказательство слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Что сказать, и вправду получилось длинновато: доказательство принстонского англо-американского математика Эндрю Уайлса 1994 года заняло 129 страниц в журнале Annals of Mathematics и было опубликовано в 1995 году.
С тех пор как теорема стала известна, многие умы бились над ее решением, существуют некоторые частные способы ее решения. Так, Леонард Эйлер в 1770-м доказал ее для случая n=3, в XIX веке теорему решили для n=5, 7 и для других частных случаев. Но все жаждали полного и красивого общего решения.
Обманчивая простота формулировки и понятность условия принесли Великой теореме известность: ее решение искали именитые математики и любители; теорема считается рекордсменом по количеству неправильных доказательств.
Истовые искатели доказательств звались «ферматисты», и многие журналы математики изнемогали под их натиском: в 1972 году журнал «Квант», написавший о теореме, снабдил статью припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».
В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию. Многие сегодня мечтают упростить его тяжеловесное доказательство, так что говорить о том, что точка в истории поставлена, пока рано. И вправду — всего 420 лет!