квадратный корень в каком классе изучают по математике

Что такое квадратный корень

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

Это два нетождественных друг другу выражения.

Из выражения x 2 = 16 следует, что:

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

Первое выражение — квадратное уравнение.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x 2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ищем в таблице число 7396.

Ищем в таблице число 9025.

Ищем в таблице число 1600.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.

Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.

Умножение арифметических корней

Для умножения арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:

Деление арифметических корней

Для деления арифметических корней используйте формулу:

Примеры:

Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:

Примеры:

Эти две формулы нужно запомнить:

Повторите свойства степеней, чтобы без труда решать такие примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.

А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.

Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.

Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.

В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.

Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.

Вы помните, что (√a) 2 = a

Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.

7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Формула внесения множителя под знак корня:

Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

4 2 = 16 ⇒ 6

5 2 = 25 ⇒ 5

6 2 = 36 ⇒ 6

7 2 = 49 ⇒ 9

8 2 = 64 ⇒ 4

9 2 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Методическая разработка раздела учебной программы по математике «Квадратные корни» 8 класс

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное образовательное учреждение

Глуховская средняя общеобразовательная школа

Воскресенского муниципального района Нижегородской области

РАЗДЕЛА УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

МКОУ Глуховской СОШ

Глушкова Екатерина Владимировна

2. Цели и задачи раздела программы «Квадратные корни»…………………. 5

3. Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями.. 6

4. Ожидаемые результаты освоения программы «Квадратные корни»……… 8

5. Обоснование используемых в образовательном процессе по разделу программы «Квадратные корни» образовательных технологий, методов, форм организации деятельности обучающихся………………………………………… 10

6. Результат применения методик и технологий по программе «Квадратные корни»………………………………………………………………………………… 21

8. Разработка урока по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»………………………………………………………………. 24

1. Пояснительная записка.

Рабочая программа по алгебре «Квадратные корни» ориентирована на учащихся 8 класса и реализуется на основе следующих документов.

1. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра.7-9 классы. Составитель Бурмистрова Т.А.-М.: «Просвещение», 2009 г.

2. Государственный стандарт основного общего образования по математике. Программа соответствует учебнику «Алгебра 8 класс» Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. под научным руководством академика А. Н. Тихонова М.: «Просвещение», 2009г.

Преподавание ведется по 1 варианту – 3 часа в неделю, всего 102 часа. На тему « Квадратные корни» отводится 14 часов.

В главе «Квадратные корни» вводится целый ряд новых для учащихся математических понятий, которые в школьном курсе алгебры находят широкое применение и развитие: квадратный корень из числа, арифметический квадратный корень, иррациональные и действительные числа, алгебраические преобразования с арифметическими корнями приближенное значение квадратного корня, свойства квадратных корней, преобразование выражений содержащих квадратные корни. Данная программа изучается после главы «Приближенные вычисления». Глава « Квадратные корни» является одной из важнейших в курсе алгебры, так как создает базу для дальнейшего развития при изучении квадратных уравнений, квадратичной функции, а так же арифметического корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, степенной функции, неравенств и уравнений, содержащих степень, рассматриваемых в следующем классе. Специальное внимание уделяется освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. Учащиеся впервые знакомятся с многими математическими понятиями и операциями. Умение преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни, часто используются как в самом курсе алгебры, так и в курсах геометрии 8 класса, 9 класса, физики 9 класса, информатики и алгебры и начал анализа. Поэтому важно, чтобы фундамент этих знаний данного раздела был заложен прочно.

Рассматриваемые в этой главе свойства арифметических корней позволяют не только проводить вычисления, но и выполнять алгебраические преобразования над корнями, т.е. совершенствовать у учащихся навыки алгебраических преобразований. Учащиеся также знакомятся с вычислениями корней на микрокалькуляторе.

2. Цели и задачи раздела «Квадратные корни»

Систематизировать сведения о рациональных числах; ввести понятие иррационального и действительного чисел; научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Систематизировать сведения о рациональных числах, дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие числа, выработать умение выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Развивать математические способности, познавательный интерес, развивать математическую речь, логическое мышление, компьютерную грамотность, научить применять изученные теоретические сведения не только для решения алгоритмических задач, но и задач содержание которых может отходить от основного курса математики, научить проявлять выдумку и сообразительность, повысить интерес к предмету.

Прививать навык самостоятельной работы, умение преодолевать учебные трудности. Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, умение выслушивать чужое мнение, сравнивать его со своим, быстро дополнить, найти в нем ошибки по содержанию и по планированию самого ответа.

3. Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения раздела программы по алгебре «Квадратные корни» обучающимися в соответствии с возрастными особенностями.

У учащихся 8 класса всё ещё большую роль играет наглядно-образное мышление, поэтому при изучении тех или иных правил, понятий, свойств приходиться опираться на чувственно-конкретное восприятие, широко используя средства наглядности (наглядные пособия, таблицы, использование компьютерных презентаций).

Необходимо продолжать работу по формированию у учащихся навыков производить операции анализа, абстрагирования, и обобщения, делать умозаключения методом индукции. Индуктивный метод при изучении раздела «Квадратные корни» используется при изучении нового материала, когда в ходе беседы учащиеся сами смогут сделать обобщение, заключение, сформулировать правило, некоторую закономерность.

В дедукции ход рассуждений обратный: от обобщений к конкретным фактам. На этой основе учащимся будет легче осваивать математику в старшем звене. В подростковом возрасте также развивается критичность мышления, склонность к рефлексии, формирование самоанализа.

Для этого возраста характерно стремление к общению, в том числе и с учителем как старшим товарищем, оценка дружеских отношений как личностных достижений.

4. Ожидаемые результаты освоения раздела программы «Квадратные корни».

Учащиеся должны знать:

В результате изучения главы « Квадратные корни» все учащиеся должны знать определение и свойства арифметического квадратного корня, иметь представление об иррациональных и действительных числах.

Учащиеся должны уметь:

Применять правила действий с квадратными корнями при преобразовании выражений содержащих квадратные корни.

Выполнять вычисления и алгебраические преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Владеть компетенциями: познавательной, коммуникативной, информационной и рефлексивной.

Решать следующие жизненно-практические задачи:

самостоятельно приобретать и применять знания по данной теме в различных ситуациях для решения несложных практических задач, в том числе с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера;

работать в группах, аргументировать и отстаивать свою точку зрения;

уметь слушать других, извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа объектов;

уметь самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения проблем;

уметь контролировать процесс и результат своей деятельности.

5. Обоснование используемых в образовательном процессе по разделу программы по алгебре «Квадратные корни» образовательных технологий, методов, форм организации деятельности обучающихся.

Учебный процесс является неразрывным единством трёх составляющих:

— информационной (передача, приём, накопление, преобразование, хранение и применение информации);

— психологической (становление и развитие человеческой индивидуальности);

— кибернетической (управление учебно-познавательной деятельностью обучаемых).

Тема «Квадратные корни» в курсе 8 класса позволяет применять различные формы и методы организации учебного процесса. При изучении тем раздела я использую объяснительно-иллюстративный метод посредством частных методов: словесно-наглядных, которые включают изложение с демонстрацией средств наглядности, фронтальную беседу, самостоятельную работу учащихся с наглядными пособиями; словесно-наглядно-практических, включающих работу учащихся с раздаточным материалом, выполнение письменных работ. В систему контроля за выполнением требований к математической подготовке учащихся я использую три типа проверочных работ:

2 тип – тесты, направленные на выявление разного уровня подготовки (комбинированные по форме заданий тесты: первая часть соответствует уровню обязательной подготовки; вторая часть, соответствующая повышенному уровню подготовки, предполагает развернутое решение). Такие тесты я использую после изучения каждой темы данной программы «Квадратные корни», это позволяет выявить пробелы в знаниях обучающихся (см. приложение № 4 и пособие «Контрольно-измерительные материалы. Алгебра 8» тесты)

Опыт работы показал, что тесты являются удобной формой контроля знаний учащихся, однако возможности этой формы весьма ограничены и было бы неправильно всю итоговую проверку усвоения знаний раздела свести к проведению тестов.

3 тип – контрольная работа. Она включает в себя 2 части: 1 часть – задания обязательной подготовки, 2 часть – задания повышенного уровня. Задания контрольной работы предполагают полную запись решения. Контрольная работа полнее выявляет уровни усвоения изученного материала всего раздела.

Важно, чтобы при написании тестов и контрольных работ учащиеся знали критерии оценивания этих работ (см. приложение № 7).

В процессе изучения темы вышеописанные методы используются многократно. Например, понятие темы «Свойства квадратного корня» вводится на основе свойств степени с натуральным показателем, при объяснении темы задаю учащимся ряд последовательных вопросов, а также предлагаю тренировочные задания с использованием свойств квадратного корня.

– Какие арифметические операции вам известны?

— Какими законами связаны эти операции? В чем заключается суть распределительного и сочетательного законов?

— Какую операцию ввели на предыдущих уроках?

-Решите примеры записанные на доске.

— Как вы думаете, можно ли было второе задание решить так?

— Попробуйте сформулировать правило, по которому были произведены вычисления.

Устная работа это особый вид деятельности, который несет в себе определенные цели: 1) корректировка определенных ЗУН обучающихся необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке; 2) контроль учителя за состоянием знаний обучающихся; 3) психологическая подготовка обучающихся к восприятию нового материала. Данный этап является неотъемлемой частью в структуре урока математики. Он помогает учителю, переключить ученика с одной деятельности на другую, подготовить обучающихся к изучению новой темы, повышает интеллект. Учащиеся хорошо владеющие твердыми навыками устного счета, быстрее овладевают технику алгебраических преобразований, лучше справляются с различными заданиями, составной частью которых является вычисления. В устных вычислениях развиваются память обучающихся, быстрота их реакции, сосредоточенность. Систематическое использование устных упражнений на уроках оживляет процесс обучения, повышает интерес обучающихся к математике, предупреждает появление формализма в обучении.

Использование информационных технологий совместно с другими педагогическими технологиями открывают новые возможности для развития учащихся.

Используя те или иные методы, приемы и формы обучения каждому учителю приходится искать и находить ответы на вопросы такого характера: Как максимально, с большей отдачей, использовать каждую минуту урока? Как реализовать проблему полной занятости каждого ученика на уроке? Какую методику избрать из многообразия методик, чтобы достичь наилучшего результата?

Использую следующие методы и средства при дифференциации по уровням усвоения и закрепления материала:

создание проблемно-поисковых ситуаций;

Для организации дифференцированного обучения можно использовать индивидуальные карточки с алгоритмическим предписаниями, с сопутствующими указаниями и инструкциями, задания с выбором правильного решения, с применением классификации. С выполнением некоторой их части, вопросами. Такие карточки я предлагаю при закреплении темы: «Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня », для сильных учеников, которые могут оперировать полученными знаниями и правилами, также использую задания на перенос знаний и умений в изменённую или новую ситуацию. Сама же в это время отрабатываю приемы и способы с теми учениками у которых более развито наглядное восприятие учебного материала.

Домашнее задание задается разной сложности, ученик сам выбирает себе задание, но хотя бы один пример из номера с легким заданием должен быть сделан для отработки практических навыков. Учащиеся со слабыми знаниями по желанию могут тоже выполнять задания повышенной сложности. Это позволяет учителю сделать следующий урок, на котором оно будет выслушано и проверено, значительно содержательнее, эффективнее, интереснее.

Подводя итог урока обучающиеся и я, как учитель, вместе определяем: что делали, зачем, к какому результату пришли. Либо идет обсуждение в парах: я научился, что узнали нового, я что-то не понял. И если при обсуждении в парах кто-то разобрал материал лучше, чем его сосед, он может объяснить своему собеседнику недопонятые моменты еще раз. Это важный этап т.к. то, что проговаривает ученик, а если еще и не один раз, лучше запоминается. Это дает возможность оказывать воздействие на развитие способностей решающего данную задачу и мобилизует его более эффективно применять свои знания и умения.

Дифференцированный подход обеспечивает возможность выполнять задания и быть активными на уроке даже слабым учащимся. Они становятся увереннее в своих знаниях, перестают стесняться отвечать на уроках. Присутствует ощущение радости, успеха, когда ребенок видит результаты своей работы.

В заключении хочется отметить, что степень познавательной активности учеников зависит и от них самих, от их воспитанности, сознательности, любознательности, ведь ученик не только объект, но и субъект учебного процесса. Степень активности школьников является реакцией на методы и приёмы работы учителя. Считаю, что современные педагогические технологии в сочетании с современными информационными технологиями могут существенно повысить эффективность образовательного процесса.

Сознательное и прочное усвоение знаний учащихся проходит в процессе их активной умственной деятельности. Поэтому работу следует организовывать на каждом уроке так, чтобы материал становился предметом активных действий ученика.

Источник